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【题目】四边形ABCD内接于⊙O,连接ACBD2BDC+ADB180°

1)如图1,求证:ACBC

2)如图2E为⊙O上一点, FAC上一点,DEBF相交于点T,连接AT,若∠BFC=∠BDC+ABD,求证:AT平分∠DAB

3)在(2)的条件下,DTTEAD8BD12,求DE的长.

【答案】1)见解析;(2)见解析;(38

【解析】

1)只要证明∠CAB=CBA即可.
2)如图2中,作THADHTRBDRTLABL.想办法证明TL=TH即可解决问题.
3)如图3中,连接EAEB,作EG⊥AB,THADHTRBDRTLABLAQBDQ.证明△EAG≌△TDHAAS),推出AG=DH,证明RtTDRRtTDHHL),推出DH=DR,同理可得AL=AHBR=BL,设DH=x,则AB=2x
SADB=BDAQ=ADh+ABh+DBh,可得AQ=h,再根据sinBDE=sinADEsinAED=sinABD,构建方程组求出m即可解决问题.

解:(1)如图1中,

∵四边形ABCD内接于⊙O

∴∠ADC+ABC180°

即∠ADB+BDC+ABC180°

2BDC+ADB180°

∴∠ABC=∠BDC

∵∠BAC=∠BDC

∴∠BAC=∠ABC

ACBC

2)如图2中,作THADHTRBDRTLABL

∵∠BFC=∠BAC+ABF,∠BAC=∠BDC

∴∠BFC=∠BDC+ABF

∵∠BFC=∠BDC+ABD

∴∠ABFABD

BT平分∠ABD

∴∠ADE=∠BDE

DT平分∠ADB

THADHTRBDRTLABL

TRTLTRTH

TLTH

AT平分∠DAB

3)如3中,连接EAEB,作EGABTHADHTRBDRTLABLAQBDQ

∴∠EAB=∠EDB=∠EDAAEBE

∵∠TAE=∠EAB+TAB,∠ATE=∠EDA+DAT

∴∠TAE=∠ATE

AETE

DTTE

AEDT

∵∠AGE=∠DHT90°

∴△EAG≌△TDHAAS),

AGDH

AEEBEGAB

AGBG

2DHAB

RtTDRRtTDHHL),

DHDR,同理可得AL=AHBRBL

DHx,则AB2x

AD8DB12

ALAH8xBR12xAB2x8x+12x

x5

DH5AB10

TRTLTHhDTm

SADB=BDAQ=ADh+ABh+DBh

12AQ=(8+12+10h

AQh

sinBDEsinADE,可得

sinAEDsinABD,可得

解得m4或﹣4(舍弃),

DE2m8

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8

______

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______

______

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