【题目】四边形ABCD内接于⊙O,连接AC、BD,2∠BDC+∠ADB=180°.
(1)如图1,求证:AC=BC;
(2)如图2,E为⊙O上一点, =,F为AC上一点,DE与BF相交于点T,连接AT,若∠BFC=∠BDC+∠ABD,求证:AT平分∠DAB;
(3)在(2)的条件下,DT=TE,AD=8,BD=12,求DE的长.
【答案】(1)见解析;(2)见解析;(3)8
【解析】
(1)只要证明∠CAB=∠CBA即可.
(2)如图2中,作TH⊥AD于H,TR⊥BD于R,TL⊥AB于L.想办法证明TL=TH即可解决问题.
(3)如图3中,连接EA,EB,作EG⊥AB,TH⊥AD于H,TR⊥BD于R,TL⊥AB于L,AQ⊥BD于Q.证明△EAG≌△TDH(AAS),推出AG=DH,证明Rt△TDR≌Rt△TDH(HL),推出DH=DR,同理可得AL=AH,BR=BL,设DH=x,则AB=2x,
由S△ADB=BDAQ=ADh+ABh+DBh,可得AQ=h,再根据sin∠BDE=sin∠ADE,sin∠AED=sin∠ABD,构建方程组求出m即可解决问题.
解:(1)如图1中,
∵四边形ABCD内接于⊙O,
∴∠ADC+∠ABC=180°,
即∠ADB+∠BDC+∠ABC=180°,
∵2∠BDC+∠ADB=180°,
∴∠ABC=∠BDC,
∵∠BAC=∠BDC,
∴∠BAC=∠ABC,
∴AC=BC.
(2)如图2中,作TH⊥AD于H,TR⊥BD于R,TL⊥AB于L.
∵∠BFC=∠BAC+∠ABF,∠BAC=∠BDC,
∴∠BFC=∠BDC+∠ABF,
∵∠BFC=∠BDC+∠ABD,
∴∠ABF=∠ABD,
∴BT平分∠ABD,
∵ =
∴∠ADE=∠BDE,
∴DT平分∠ADB,
∵TH⊥AD于H,TR⊥BD于R,TL⊥AB于L.
∴TR=TL,TR=TH,
∴TL=TH,
∴AT平分∠DAB.
(3)如3中,连接EA,EB,作EG⊥AB,TH⊥AD于H,TR⊥BD于R,TL⊥AB于L,AQ⊥BD于Q.
∵ =
∴∠EAB=∠EDB=∠EDA,AE=BE,
∵∠TAE=∠EAB+∠TAB,∠ATE=∠EDA+∠DAT,
∴∠TAE=∠ATE,
∴AE=TE,
∵DT=TE,
∴AE=DT,
∵∠AGE=∠DHT=90°,
∴△EAG≌△TDH(AAS),
∴AG=DH,
∵AE=EB,EG⊥AB,
∴AG=BG,
∴2DH=AB,
∵Rt△TDR≌Rt△TDH(HL),
∴DH=DR,同理可得AL=AH,BR=BL,
设DH=x,则AB=2x,
∵AD=8,DB=12,
∴AL=AH=8﹣x,BR=12﹣x,AB=2x=8﹣x+12﹣x,
∴x=5,
∴DH=5,AB=10,
设TR=TL=TH=h,DT=m,
∵S△ADB=BDAQ=ADh+ABh+DBh,
∴12AQ=(8+12+10)h,
∴AQ=h,
∵sin∠BDE=sin∠ADE,可得==,
sin∠AED=sin∠ABD,可得===,
∴=,
解得m=4或﹣4(舍弃),
∴DE=2m=8.
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【题目】甲、乙人5场10次投篮命中次数如图
(1)填写表格.
平均数 | 众数 | 中位数 | 方差 | |
甲 | ______ | 8 | 8 | ______ |
乙 | 8 | ______ | ______ | 3.2 |
(2)①教练根据这5个成绩,选择甲参加投篮比赛,理由是什么?
②如果乙再投篮1场,命中8次,那么乙的投监成绩的方差将会怎样变化?(“变大”“变小”或”不变”)
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【题目】如图,∠AOB=90°,且OA,OB分别与反比例函数y=(x>0)、y=﹣(x<0)的图象交于A,B两点,则sin∠OAB的值是( )
A.B.C.D.
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【题目】如图,M,N是以AB为直径的⊙O上的点,且=,弦MN交AB于点C,BM平分∠ABD,MF⊥BD于点F.
(1)求证:MF是⊙O的切线;
(2)若CN=3,BN=4,求CM的长.
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【题目】二次函数的图象如图所示,以下结论:①abc>0;②4ac<b2;③2a+b>0;④其顶点坐标为(,﹣2);⑤当x<时,y随x的增大而减小;⑥a+b+c>0正确的有( )
A. 3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个
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【题目】如图,已知反比例函数y=-与一次函数y=kx+b的图象交于A、B两点,且点A的横坐标和点B的纵坐标都是-2.
求:(1)一次函数的解析式;
(2)△AOB的面积.
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【题目】如图,已知正方形的边长为,是边上一点,,将,分别沿折痕,向内折叠,点,在点处重合,过点作,交的延长线于.则下列结论正确的有( )
①;②为等腰直角三角形;③点是的中点;④.
A.个B.个C.个D.个
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【题目】现在很多家庭都使用折叠型西餐桌来节省空间,两边翻开后成圆形桌面(如图1).餐桌两边AB和CD平行且相等(如图2),小华用皮带尺量出AC=2米,AB=1米,那么桌面翻成圆桌后,桌子面积会增加_____平方米.(结果保留π)
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,A、B为x轴上两点,C、D为y轴上的两点,经
过点A、C、B的抛物线的一部分C1与经过点A、D、B的抛物线的一部分C2组合成一条封闭曲线,我们把这条封
闭曲线称为“蛋线”.已知点C的坐标为(0,),点M是抛物线C2:(<0)的顶点.
(1)求A、B两点的坐标;
(2)“蛋线”在第四象限上是否存在一点P,使得△PBC的面积最大?若存在,求出△PBC面积的最大值;若不存在,请说明理由;
(3)当△BDM为直角三角形时,求的值.
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