Question

14．在正方形ABCD中，AD=2，l是过AD中点P的一条直线．O是l上一点，以O为圆心的圆经过点A、D，直线l与⊙O交于点E、F（E、F不与A、D重合，E在F的上面）．
（1）如图，若点F在BC上，求证：BC与⊙O相切．并求出此时⊙O的半径．
（2）若⊙O半径为$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，请直接写出∠AED的度数．

Answer 1

分析 （1）连接OA、OD，如图，由点P是AD的中点，根据垂径定理的推理得OP⊥AD，再利用正方形的性质得AD∥BC，所以OP⊥BC，于是可根据切线的判定定理判断BC与⊙O相切；设⊙O的半径为r，则OF=r，PF=AB=AD=2，OP=2-r，AP=$\frac{1}{2}$AD=1，在Rt△AOP中利用勾股定理得到1²+（2-r）²=r²，解得r=$\frac{5}{4}$；
（2）如图，在Rt△OAP中，利用正弦定义可求出∠AOP=60°，则∠AOD=120°，根据圆周角定理得∠AFD=$\frac{1}{2}$∠AOD=60°，再根据圆内接四边形的性质得∠AED=180°-∠AFD=120°，若当交换点E和F的位置时，∠AED=60°，于是得到∠AED的度数为120°或60°．

解答 （1）证明：连接OA、OD，如图，
∵点P是AD的中点，
∴OP⊥AD，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD∥BC，
∴OP⊥BC，
且OF是⊙O半径，
∴BC与⊙O相切；
设⊙O的半径为r，则OF=r，
∵PF=AB=AD=2，
∴OP=2-r，
AP=$\frac{1}{2}$AD=1，
在Rt△AOP中，∵AP²+OP²=AO²，
∴1²+（2-r）²=r²，解得r=$\frac{5}{4}$，
即设⊙O的半径为$\frac{5}{4}$；
（2）解：如图，在Rt△OAP中，∵sin∠AOP=$\frac{AP}{OA}$=$\frac{1}{\frac{2\sqrt{3}}{3}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴∠AOP=60°，
∴∠AOD=120°，
∴∠AFD=$\frac{1}{2}$∠AOD=60°，
∴∠AED=180°-∠AFD=120°，
当交换点E和F的位置时，∠AED=60°，
∴∠AED的度数为120°或60°．

点评 本题考查了切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．也考查了勾股定理和正方形的性质．