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【题目】如图,以AB为直径的⊙O经过点P,C是⊙O上一点,连接PC交AB于点E,且∠ACP=60°,PA=PD.
(1)试判断PD与⊙O的位置关系,并说明理由;
(2)若 =1:2,求AE:EB:BD的值(请你直接写出结果);
(3)若点C是弧AB的中点,已知AB=4,求CECP的值.

【答案】
(1)解:PD与⊙O相切.理由如下:

连接OP,

∵∠ACP=60°,

∴∠AOP=120°,

而OA=OP,

∴∠PAO=∠APO=30°,

∵PA=PD,

∴∠D=∠PAD=30°,

∴∠APD=180°﹣30°﹣30°=120°,

∴∠OPD=120°﹣30°=90°,

∵OP为半径,

∴PD是⊙O的切线


(2)解:连BC,

∵AB为直径,

∴∠ACB=90°,

=1:2,

∴∠ABC=2∠BAC,

∴∠BAC=30°,∠ABC=60°,

而∠PAE=30°,

∴∠APE=∠DPE=60°,

∴AE垂直平分PC,如图,

设BE=x,在Rt△BCE中,∠BCE=30°,则BC=2BE=2x,

在Rt△ABC中,∠CAB=30°,AB=2BC=4x,

∴AE=AB﹣BE=3x,

∵PA=PD,PE⊥AD,

∴AE=DE,

∴DB=3x﹣x=2x,

∴AE:EB:BD的值为3:1:2


(3)解:如图,连接OC,

∵弧AC=弧BC,CO⊥AD,

∴∠CAB=∠APC,OC⊥AB,

而∠ACE=∠PCA,

∴△ACE∽△PCA,

,即AC2=PCCE,

∵A02+OC2=AC2=8,

∴PCCE=AC2=8.


【解析】(1)连OP,根据圆周角定理得到∠AOP=2∠ACP=120°,则∠PAO=∠APO=30°,利用PA=PD得到∠D=∠PAD=30°,则∠APD=180°﹣30°﹣30°=120°,于是得到∠OPD=120°﹣30°=90°,根据切线的判定定理即可得到PD是⊙O的切线;(2)连BC,由AB为直径,根据直径所对的圆周角为直角得到∠ACB=90°,利用 =1:2,则∠ABC=2∠BAC,所以有∠BAC=30°,∠ABC=60°,而∠PAE=30°,得到AE垂直平分PC,设BE=x,然后利用含30°的直角三角形三边的关系可求出AE:EB:BD的值;(3)根据圆周角定理由弧AC=弧BC,得到∠CAB=∠APC,OC⊥AB,根据相似三角形的判定方法易得△ACE∽△PCA,则 ,即AC2=PCCE,利用勾股定理有A02+OC2=AC2=8,即可得到CECP的值.

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