【题目】如图,以AB为直径的⊙O经过点P,C是⊙O上一点,连接PC交AB于点E,且∠ACP=60°,PA=PD.
(1)试判断PD与⊙O的位置关系,并说明理由;
(2)若 : =1:2,求AE:EB:BD的值(请你直接写出结果);
(3)若点C是弧AB的中点,已知AB=4,求CECP的值.
【答案】
(1)解:PD与⊙O相切.理由如下:
连接OP,
∵∠ACP=60°,
∴∠AOP=120°,
而OA=OP,
∴∠PAO=∠APO=30°,
∵PA=PD,
∴∠D=∠PAD=30°,
∴∠APD=180°﹣30°﹣30°=120°,
∴∠OPD=120°﹣30°=90°,
∵OP为半径,
∴PD是⊙O的切线
(2)解:连BC,
∵AB为直径,
∴∠ACB=90°,
∵ : =1:2,
∴∠ABC=2∠BAC,
∴∠BAC=30°,∠ABC=60°,
而∠PAE=30°,
∴∠APE=∠DPE=60°,
∴AE垂直平分PC,如图,
设BE=x,在Rt△BCE中,∠BCE=30°,则BC=2BE=2x,
在Rt△ABC中,∠CAB=30°,AB=2BC=4x,
∴AE=AB﹣BE=3x,
∵PA=PD,PE⊥AD,
∴AE=DE,
∴DB=3x﹣x=2x,
∴AE:EB:BD的值为3:1:2
(3)解:如图,连接OC,
∵弧AC=弧BC,CO⊥AD,
∴∠CAB=∠APC,OC⊥AB,
而∠ACE=∠PCA,
∴△ACE∽△PCA,
∴ ,即AC2=PCCE,
∵A02+OC2=AC2=8,
∴PCCE=AC2=8.
【解析】(1)连OP,根据圆周角定理得到∠AOP=2∠ACP=120°,则∠PAO=∠APO=30°,利用PA=PD得到∠D=∠PAD=30°,则∠APD=180°﹣30°﹣30°=120°,于是得到∠OPD=120°﹣30°=90°,根据切线的判定定理即可得到PD是⊙O的切线;(2)连BC,由AB为直径,根据直径所对的圆周角为直角得到∠ACB=90°,利用 : =1:2,则∠ABC=2∠BAC,所以有∠BAC=30°,∠ABC=60°,而∠PAE=30°,得到AE垂直平分PC,设BE=x,然后利用含30°的直角三角形三边的关系可求出AE:EB:BD的值;(3)根据圆周角定理由弧AC=弧BC,得到∠CAB=∠APC,OC⊥AB,根据相似三角形的判定方法易得△ACE∽△PCA,则 ,即AC2=PCCE,利用勾股定理有A02+OC2=AC2=8,即可得到CECP的值.
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【题目】如图,B是线段AD上一动点,沿A→D→A以2cm/s的速度往返运动1次,C是线段BD的中点,AD=10cm,设点B运动时间为t秒(0≤t≤10).
(1)当t=2时,①AB= ___ cm.②求线段CD的长度.
(2)用含t的代数式表示运动过程中AB的长.
(3)在运动过程中,若AB中点为E,则EC的长是否变化?若不变,求出EC的长;若发生变化,请说明理由.
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【题目】在一只不透明的盒子里有背面完全相同,正面上分别写有数字1、2、3、4的四张卡片,小马从中随机地抽取一张,把卡片上的数字作为被减数;在另一只不透明的盒子里将形状、大小完全相同,分别标有数字1、2、3的三个小球混合后,小虎从中随机地抽取一个,把小球上的数字做为减数,然后计算出这两个数的差.
(1)请你用画树状图或列表的方法,求这两数差为0的概率;
(2)小马与小虎做游戏,规则是:若这两数的差为非正数,则小马赢;否则小虎赢.你认为该游戏公平吗?请说明理由.
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【题目】如图所示,在△ABC中,∠ACB=90°点E是AB的中点,连接CE,过点E作ED⊥BC于点D,在DE的延长线上取一点F,使AF=CE,求证四边形ACEF是平行四边形.
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【题目】如图,已知点A的坐标是(﹣1,0),点B的坐标是(9,0),以AB为直径作⊙O′,交y轴的负半轴于点C,连接AC、BC,过A、B、C三点作抛物线.
(1)求点C的坐标及抛物线的解析式;
(2)点E是AC延长线上一点,∠BCE的平分线CD交⊙O′于点D,求点D的坐标;并直接写出直线BC、直线BD的解析式;
(3)在(2)的条件下,抛物线上是否存在点P,使得∠PDB=∠CBD,若存在,请求出点P的坐标,若不存在,请说明理由.
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【题目】已知:如图,反比例函数y= 的图象与一次函数y=x+b的图象交
于点A(1,4)、点B(-4,n).
(1)求一次函数和反比例函数的解析式;
(2)求△OAB的面积;
(3)直接写出一次函数值大于反比例函数值的自变量x的取值范围.
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【题目】下面是“经过已知直线外一点作这条直线的垂线”的尺规作图过程:
已知:直线l和l外一点P.(如图1)
求作:直线l的垂线,使它经过点P.
作法:如图2
(1)在直线l上任取两点A,B;
(2)分别以点A,B为圆心,AP,BP长为半径作弧,两弧相交于点Q;
(3)作直线PQ.
所以直线PQ就是所求的垂线.
请回答:该作图的依据是_________________________________________.
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