Question

16．如图，二次函数y=x²-4x+3与坐标轴交于A、B、C三点，C点关于对称轴的对称点为D点，点P在抛物线上，且∠PDB=45°，求P点坐标．

Answer 1

分析 连结CD、BC，BC交PD于Q，作QH⊥x轴于H，如图，通过解方程x²-4x+3=0得到A（1，0），B（3，0），则抛物线的对称轴为直线x=2，再确定C（0，3）D（4，3），利用两点间的距离公式计算出BD=$\sqrt{10}$，接着判定△OBC为等腰直角三角形得到BC=3$\sqrt{2}$，∠OCB=∠OBC=45°，然后证明△BDQ∽△BCD，利用相似比求出BQ=$\frac{5\sqrt{2}}{3}$，则在等腰直角三角形BHQ中，QH=BH=$\frac{\sqrt{2}}{2}$BQ=$\frac{5}{3}$，所以AH=OB-BH=$\frac{4}{3}$，于是得到Q（$\frac{4}{3}$，$\frac{5}{3}$），接下来利用待定系数法求出直线DP的解析式为y=$\frac{1}{2}$x+1，最后通过解方程组$\left\{\begin{array}{l}{y={x}^{2}-4x+3}\\{y=\frac{1}{2}x+1}\end{array}\right.$得P点坐标．

解答 解：连结CD、BC，BC交PD于Q，作QH⊥x轴于H，如图，
当y=0时，x²-4x+3=0，解得x₁=1，x₂=3，则A（1，0），B（3，0），
∴抛物线的对称轴为直线x=2，
当x=0时，y=x²-4x+3=3，则C（0，3），
∵C点关于对称轴的对称点为D点，
∴D（4，3），
∴BD=$\sqrt{（4-3）^{2}+{3}^{2}}$=$\sqrt{10}$，
∵OB=OC=3，
∴△OBC为等腰直角三角形，
∴BC=3$\sqrt{2}$，∠OCB=∠OBC=45°，
∴∠BCD=45°，
∵∠PDB=45°，
∴∠BCD=∠BDQ，
而∠QBD=∠DBC，
∴△BDQ∽△BCD，
∴BQ：BD=BD：BC，即BQ：$\sqrt{10}$=$\sqrt{10}$：3$\sqrt{2}$，解得BQ=$\frac{5\sqrt{2}}{3}$，
在等腰直角三角形BHQ中，QH=BH=$\frac{\sqrt{2}}{2}$BQ=$\frac{5}{3}$，
∴AH=OB-BH=3-$\frac{5}{3}$=$\frac{4}{3}$，
∴Q（$\frac{4}{3}$，$\frac{5}{3}$），
设直线DP的解析式为y=kx+b，
把D（4，3），Q（$\frac{4}{3}$，$\frac{5}{3}$）代入得$\left\{\begin{array}{l}{4k+b=3}\\{\frac{4}{3}k+b=\frac{5}{3}}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{1}{2}}\\{b=1}\end{array}\right.$，
∴直线DP的解析式为y=$\frac{1}{2}$x+1，
解方程组$\left\{\begin{array}{l}{y={x}^{2}-4x+3}\\{y=\frac{1}{2}x+1}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=4}\\{y=3}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{1}{2}}\\{y=\frac{5}{4}}\end{array}\right.$，
∴P点坐标为（$\frac{1}{2}$，$\frac{5}{4}$）．

点评 本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y=ax²+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了相似三角形的判定与性质．