Question

【题目】如图，抛物线y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴交于A，B两点，顶点P（m，n）．给出下列结论：①2a+c＜0；②若（﹣，y1），（﹣，y2），（，y3）在抛物线上，则y1＞y2＞y3；③关于x的方程ax2+bx+k=0有实数解，则k＞c﹣n；④当n=﹣时，△ABP为等腰直角三角形．其中正确结论是______（填写序号）．

Answer 1

【答案】②④

【解析】

利用二次函数的对称轴、顶点坐标、增减性、与坐标轴的交点等性质一一判断即可.

∵-＜，a＞0，

∴a＞-b，

∵x=-1时，y＞0，

∴a-b+c＞0，

∴2a+c＞a-b+c＞0，故①错误，

若（﹣，y1），（﹣，y2），（，y3）在抛物线上，

由图象法可知，y1＞y2＞y3；故②正确，

∵抛物线与直线y=t有交点时，方程ax2+bx+c=t有解，t≥n，

∴ax2+bx+c-t=0有实数解

要使得ax2+bx+k=0有实数解，则k=c-t≤c-n；故③错误，

设抛物线的对称轴交x轴于H．

∵，

∴b2-4ac=4，

∴x=，

∴|x1-x2|=，

∴AB=2PH，

∵BH=AH，

∴PH=BH=AH，

∴△PAB是直角三角形，

∵PA=PB，

∴△PAB是等腰直角三角形．故④正确．

故答案为②④．