Question

【题目】如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，过点C的直线MN∥AB，D为AB边上
一点，过点D作DE⊥BC，交直线MN于E，垂足为F，连接CD，BE．

（1）求证：CE=AD；
（2）当D在AB中点时．
①求证：四边形BECD是菱形；
②当∠A为多少度时，四边形BECD是正方形？说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）证明：∵DE⊥BC，

∴∠DFB=90°．

∵∠ACB=90°，

∴∠ACB=∠DFB，

∴AC∥DE．

∵MN∥AB，即CE∥AD，

∴四边形ADEC是平行四边形，

∴CE=AD

（2）①证明：∵D为AB中点，

∴AD=BD．

∵CE=AD，

∴BD=CE．

∵BD∥CE，

∴四边形BECD是平行四边形．

∵∠ACB=90°，D为AB中点，

∴CD=BD，

∴四边形BECD是菱形；

②当∠A=45°时，四边形BECD是正方形．

理由如下：∵∠ACB=90°，∠A=45°，

∴∠ABC=∠A=45°，

∴AC=BC．

∵D为BA中点，

∴CD⊥AB，

∴∠CDB=90°．

∵四边形BECD是菱形，∠CDB=90°，

∴四边形BECD是正方形．

【解析】（1）证出AC∥DE，得出四边形ADEC是平行四边形，即可得出结论；
（2）①先证出BD=CE，得出四边形BECD是平行四边形，再由直角三角形斜边上的中线性质得出CD=BD，即可得出四边形BECD是菱形；
②当∠A=45°时，△ABC是等腰直角三角形，由等腰三角形的性质得出CD⊥AB，即可得出四边形BECD是正方形．

【考点精析】利用直角三角形斜边上的中线和平行四边形的判定与性质对题目进行判断即可得到答案，需要熟知直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；若一直线过平行四边形两对角线的交点，则这条直线被一组对边截下的线段以对角线的交点为中点，并且这两条直线二等分此平行四边形的面积．