【题目】(1)如图,AC平分∠DAB,∠1=∠2,试说明AB与CD的位置关系,并予以证明;
(2)如图,AB∥CD,AB的下方两点E、F满足:BF平分∠ABE、DF平分∠CDE,若∠DFB=20°,∠CDE=70°,求∠ABE的度数;
(3)在前面的条件下,若P是BE上一点,G是CD上任一点,PQ平分∠BPG,PQ∥GN,GM平分∠DGP,下列结论:①∠DGP-∠MGN的值不变;②∠MGN的度数不变,可以证明只有一个是正确的,请你作出正确的选择并求值.
【答案】(1)AB∥CD;(2)∠ABE=30°;(3)②∠MGN的度数为15°不变,证明见解析.
【解析】
(1)根据内错角相等,两直线平行证明即可;
(2)先由角平分线的定义可得:∠CDF=∠CDE=35°,∠ABE=2∠ABF,然后根据两直线平行内错角相等,可得:∠2=∠CDF=35°,然后利用三角形外角的性质求出∠ABF的度数,进而可求∠ABE的度数;
(3)根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠1=∠BPG+∠B,再根据平行线的性质以及角平分线的定义表示出∠MGP、∠DPQ,根据两直线平行,内错角相等可得∠NGP=∠GPQ,然后列式表示出∠MGN=∠B,从而判定②正确.
(1)结论:AB∥CD.
证明:∵AC平分∠DAB,
∴∠1=∠CAB,
∵∠1=∠2,
∴∠2=∠CAB,
∴AB∥CD;
(2)解:如图2,
∵BF平分∠ABE,DF平分∠CDE,
∴∠CDF=∠CDE=35°,∠ABE=2∠ABF,
∵CD∥AB,
∴∠2=∠CDF=35°,
∵∠2=∠DFB+∠ABF,∠DFB=20°,
∴∠ABF=15°,
∴∠ABE=2∠ABF=30°;
(3)解:②结论MGN的度数为15°不变.
如图3,根据三角形的外角性质,∠1=∠BPG+∠B,
∵PQ平分∠BPG,GM平分∠DGP,
∴∠GPQ=∠BPG,∠MGP=∠DGP,
∵AB∥CD,
∴∠1=∠DGP,
∴∠MGP=(∠BPG+∠B),
∵PQ∥GN,
∴∠NGP=∠GPQ=∠BPG,
∴∠MGN=∠MGP-∠NGP=(∠BPG+∠B)-∠BPG=∠B,
根据前面的条件,∠B=30°,
∴∠MGN=×30°=15°,
∴①∠DGP-∠MGN的值随∠DGP的变化而变化;②∠MGN的度数为15°不变.
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【题目】如图,在平面直角坐标系中有Rt△ABC,已知∠CAB=90°,AB=AC,A(﹣2,0),B(0,1).
(1)点C的坐标是;
(2)将△ABC沿x轴正方向平移得到△A′B′C′,且B,C两点的对应点B′,C′恰好落在反比例函数y= 的图象上,求该反比例函数的解析式.
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【题目】若数a使得关于x的不等式组,有且仅有四个整数解,且使关于y的分式方程=1有整数解,则所有满足条件的整数a的值之和是( )
A. 3B. 2C. ﹣2D. ﹣3
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【题目】如图,已知A(﹣4,n),B(2,﹣4)是一次函数y=kx+b的图象和反比例函数y=的图象的两个交点.
(1)求反比例函数和一次函数的解析式;
(2)求直线AB与x轴的交点C的坐标及△AOB的面积;
(3)直接写出一次函数的值小于反比例函数值的x的取值范围.
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【题目】为增强学生环保意识,某中学组织全校2000名学生参加环保知识大赛,比赛成绩均为整数.从中抽取部分同学的成绩进行统计,并绘制成如图统计图.
请根据图中提供的信息,解答下列问题:
(1)所抽取的样本容量为 .
(2)若抽取的学生成绩用扇形图来描述,则表示“第三组(79.5~89.5 )”的扇形的圆心角度数为多少?
(3)如果成绩在80分以上(含80分)的同学可以获奖,请估计该校有多少名同学获奖.
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【题目】如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,过点C的直线MN∥AB,D为AB边上
一点,过点D作DE⊥BC,交直线MN于E,垂足为F,连接CD,BE.
(1)求证:CE=AD;
(2)当D在AB中点时.
①求证:四边形BECD是菱形;
②当∠A为多少度时,四边形BECD是正方形?说明理由.
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【题目】图①为平地上一幢建筑物与铁塔图,图②为其示意图.建筑物AB与铁塔CD都垂直于地面,BD=20m,在A点测得D点的俯角为45°,测得C点的仰角为58°.求铁塔CD的高度.(参考数据:sin58°≈0.85,cos58°≈0.53,tan58°≈1.60)
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【题目】如图,已知一个直角三角形纸片ACB,其中∠ACB=90°,AC=4,BC=3,E,F分别是AC,AB边上点,连接EF,将纸片ACB的一角沿EF折叠.
(1)如图①,若折叠后点A落在AB边上的点D处,且使S四边形ECBF=3S△AEF , 则AE=;
(2)如图②,若折叠后点A落在BC边上的点M处,且使MF∥CA.求AE的长;
(3)如图③,若折叠后点A落在BC延长线上的点N处,且使NF⊥AB.求AE的长.
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