Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的三个顶点A(﹣3，4)、B(﹣3，0)、C(﹣1，0)．以D为顶点的抛物线y＝ax2+bx+c过点B．动点P从点D出发，沿DC边向点C运动，同时动点Q从点B出发，沿BA边向点A运动，点P、Q运动的速度均为每秒1个单位，运动的时间为t秒．过点P作PE⊥CD交BD于点E，过点E作EF⊥AD于点F，交抛物线于点G．

(1)求抛物线的解析式；

(2)当t为何值时，四边形BDGQ的面积最大？最大值为多少？

(3)动点P、Q运动过程中，是否存在某一时刻，使△PQF是等腰三角形？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】(1)y＝﹣x2﹣2x+3；(2)当t＝2时，S有最大值为2；(3)存在，t＝或或2．

【解析】

(1)先求出点D的坐标，设顶点式，代入点B的坐标即可求出抛物线的解析式．

(2)根据动点的运动速度，分别表示出EG、BQ、AF、EP的长度，表示S，配方求最值即可．

(3)分别表示点P、Q、F的坐标，用两点间距离公式表示线段长度，分三种情况讨论即可．

解：(1)∵A(﹣3，4)、B(﹣3，0)、C(﹣1，0)，

∴D(﹣1，4)，

∴设抛物线的解析式为y＝a(x+1)2+4，代入点B，

0＝a(﹣3+1)2+4，

解得a＝﹣1，

∴抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣2x+3．

(2)由题意可知，DP＝BQ＝t，

∵tan∠BDC＝，

∴EP＝t，

∴G的横坐标为﹣1﹣t，

∴G(﹣1﹣t，4﹣)，

∴EG＝t﹣，

S△DGE＝(t﹣)＝﹣，

SQBEG＝(t﹣+t)(2﹣)＝，

∴S＝2t﹣ ＝﹣(t﹣2)2+2，

∵﹣＜0，

∴当t＝2时，S有最大值为2．

(3)∵P(﹣1，4﹣t)，Q(﹣3，t)，F(﹣1﹣，4)，

∴PQ＝，PF＝，QF＝，

①PQ＝PF，

，

解得t1＝4(舍)，t2＝；

②PQ＝QF，

，

解得t1＝0(舍)，t2＝；

③PF＝QF，

，

解得t＝2．

综上所述：t＝或或2．