Question

3．在平面直角坐标系xOy中，直线y=2x+2与x轴，y轴分别交于点A，B，抛物线y=ax²+bx-$\frac{2}{3}$经过点A和点C（4，0）．
（1）求该抛物线的表达式．
（2）连接CB，并延长CB至点D，使DB=CB，请判断点D是否在该抛物线上，并说明理由．
（3）在（2）的条件下，过点C作x轴的垂线EC与直线y=2x+2交于点E，以DE为直径画⊙M，
①求圆心M的坐标；
②若直线AP与⊙M相切，P为切点，直接写出点P的坐标．

Answer 1

分析 （1）根据题意可知 A（-1，0），B（0，2），待定系数法求出a和b的值，进而求出抛物线的解析式；
（2）过点D作DF垂直x轴于点F，利用三角形相似求出D点坐标，进而作出判断；
（3）①设DE与y轴的交点为M′，证明M′和M重合，进而求出M点的坐标；②分别设出圆的方程以及切线的方程，联立方程组求出k的值，进而求出点P的坐标．

解答 解：（1）依题意，可知 A（-1，0），B（0，2）．
∵抛物线y=ax²+bx-$\frac{2}{3}$经过点A，C （4，0），
∴$\left\{\begin{array}{l}{a-b-\frac{2}{3}=0}\\{16a+4b-\frac{2}{3}=0}\end{array}\right.$，
解得 $\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{1}{6}}\\{b=-\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，
∴y=$\frac{1}{6}$x²-$\frac{1}{2}$x-$\frac{2}{3}$；

（2）点D在该抛物线上．
依题意，可得BO=2，CO=4．
过点D作DF垂直x轴于点F，如图1，
∴△CDF∽△CBO．
∴$\frac{DC}{BC}=\frac{DF}{BO}=\frac{CF}{CO}=\frac{2}{1}$．
∴DF=4，OF=CF-OC=4．
∴D（-4，4）．
∵$\frac{1}{6}$×（-4）²-$\frac{1}{2}$×（-4）-$\frac{2}{3}$=4，
∴点D在该抛物线上．

（3）①由题意可知E（4，10）．
设DE与y轴的交点为M′，
∵M′B∥EC，
∴$\frac{DM′}{EM′}=\frac{DB}{CB}=1$．
∴D M′=EM′．
∴M′即⊙M的圆心M．
∴BM=$\frac{1}{2}$EC=5．
∴M（0，7）．
②如图2，设圆的方程为x²+（y-7）²=25，切线方程为ky=x+1，
联立两方程得到：（ky-1）²+（y-7）²=25，
即（k²+1）y²-（2k+14）y+25=0，
△=12k²-7k-12=0，
解得k=$\frac{4}{3}$或k=-$\frac{3}{4}$，
当k=-$\frac{3}{4}$时，解得y=4，
当x=4时，x=-4，
即切点坐标为（-4，4）；
当k=$\frac{4}{3}$时，联立方程组解得y=3，
当y=3时，x=3，
此时的切点坐标为（3，3）；
综上：点P的坐标是（-4，4）或（3，3）．

点评 本题考查了二次函数综合题的知识，此题涉及到待定系数法求二次函数解析式，相似三角形的判定与性质、圆的知识，解答（2）问关键是求出点D的坐标，解答（3）问关键是正确地画出图形．