Question

14．点A（10，0），B（6，3），点Q是x轴上一个动点．
（1）当△ABQ是直角三角形时，直接写出所有点Q的坐标；
（2）当△ABQ是等腰三角形时，请求出所有的点Q的坐标．

Answer 1

分析 （1）分两种情况：①当∠AQB=90°时，点Q的坐标为（6，0）；当∠ABQ=90°时，点Q的坐标为（$\frac{15}{4}$，0）；
（2）作BD⊥x轴于D，由勾股定理求出AB=5，分三种情况：①当BQ=BA时；②当AQ=AB时；③当AQ=BQ时，Q在AB的垂直平分线上；分别得出点Q的坐标即可．

解答 解：（1）分两种情况：如图1所示：
①当∠AQB=90°时，
点Q的坐标为（6，0）；
当∠ABQ=90°时，
点Q的坐标为（$\frac{15}{4}$，0）；
综上所述：点Q的坐标为（6，0）或（$\frac{15}{4}$，0）；
（2）作BD⊥x轴于D，如图2所示：
则∠BDA=90°，OD=6，OA=10，BD=3，
∴AD=4，
∴AB=$\sqrt{{3}^{3}+{4}^{2}}$=5，
分三种情况：
①当BQ=BA时，DQ=AD=4，
∴OQ=2，
∴Q（2，0）；
②当AQ=AB时，OQ=5，或OQ=15，
∴Q（5，0），或（15，0）；
③当AQ=BQ时，Q在AB的垂直平分线上，
点Q的坐标为（$\frac{55}{8}$，0）；
综上所述：点Q的坐标为（2，0）或（5，0）或（15，0）或（$\frac{55}{8}$，0）．

点评 本题考查了勾股定理、坐标与图形性质、等腰三角形的性质；熟练掌握勾股定理和等腰三角形的性质，通过进行分类讨论得出结果是解决问题的关键．