Question

【题目】问题发现：如图1，在△ABC中，∠C=90°，分别以AC、BC为边向外侧作正方形ACDE和正方形BCFG．

（1）△ABC与△DCF面积的关系是；（请在横线上填写“相等”或“不相等”）
（2）拓展探究：若∠C≠90°，（1）中的结论还成立吗？若成立，请结合图2给出证明；若不成立，请说明理由；

（3）解决问题：如图3，在四边形ABCD中，AC⊥BD，且AC与BD的和为10，分别以四边形ABCD的四条边为边向外侧作正方形ABFE、正方形BCHG、正方形CDJI、正方形DALK，运用（2）的结论，图中阴影部分的面积和是否有最大值？如果有，请求出最大值，如果没有，请说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）相等
（2）解：成立．理由如下：

延长BC到点P，过点A作AP⊥BP于点P；过点D作DQ⊥FC于点Q．如图所示：

∴∠APC=∠DQC=90°．

∵四边形ACDE，BCFG均为正方形，

∴AC=CD，BC=CF，∠ACP+∠PCD=90°，∠DCQ+∠PCD=90°，

∴∠ACP=∠DCQ．

在△APC和△DQC中， ，

△APC≌△DQC（AAS），

∴AP=DQ．

又∵S△ABC= BCAP，S△DFC= FCDQ，

∴S△ABC=S△DFC；

（3）解：图中阴影部分的面积和有最大值，理由如下：

由（2）得：S△AEL=S△ABD，S△BFG=S△ABC，S△CIH=S△CBD，S△DLK=S△DAC，

∴阴影部分的面和S=S△AEL+S△BFG+S△CIH+S△DLK=2S四边形ABCD，

设AC=x，则BD=10﹣x，

∵AC⊥BD，

∴S四边形ABCD= AC×BD= x（10﹣x）=﹣ x2+5x=﹣ （x﹣5）2+ ，

∵﹣ ＜0，

∴S四边形ABCD有最大值，最大值为 ，

∴图中阴影部分的面积和有最大值为25．

【解析】解：（1）相等；理由如下：

∵四边形ACDE和四边形BCFG是正方形，

∴AC=DC，BC=FC，∠ACD=∠BCF=90°，

∵∠ACB=90°，

∴∠DCF=90°=∠ACB；

在△ABC与△DFC中， ，

∴△ABC≌△DFC（AAS）．

∴△ABC与△DFC的面积相等；

所以答案是：相等；

【考点精析】本题主要考查了二次函数的最值的相关知识点，需要掌握如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大值（或最小值），即当x=-b/2a时，y最值=(4ac-b2)/4a才能正确解答此题．