Question

已知A（0，a）和B（b，0），且a、b满足（a-4）²+|b-4|=0
（1）试通过计算判断△AOB的形状．
（2）如图1，若D为OB的中点，过O作AD的垂线交AB于E，连DE，求证：AD=OE+DE．
（3）如图2，M、N同时从D点出发，以相同的速度向x轴正方向和负方向运动到如图所示的位置，过O作AM的垂线交AB于E，连NE，求证：∠AMB=∠ONE．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,坐标与图形性质

专题：常规题型

分析：（1）由非负数的性质可求得a和b的值，判断三角形的形状即可；
（2）过B点作BF⊥OB交OE于F，可证得△AOD≌△OBF，进一步可证得△EBD≌△EBF，利用线段的和差可得出结论；
（3）可求得直线AM的解析式即可求得tan∠M的值，再根据OE⊥AM即可求得E的坐标，即可求得tan∠N的值，即可解题．

解答：解：（1）∵A（0，a）和B（b，0），
∴OA=a，OB=b，
∵（a-4）²+|b-4|=0，
∴a=4，b=4，
∴OA=OB=4，
∴△AOB是等腰直角三角形，
（2）如图1，
过B点作BF⊥OB交OE于F，

∵AO⊥OB，OE⊥AD，
∴∠BOF=∠DAO，
在△AOD和△OBF中，

∠BOF=∠DAO ∠AOD=∠OBF=90° OA=OB

，
∴△AOD≌△OBF（AAS），
∴AD=OF，OD=BF，
∴DB=BF，
∵△AOB是等腰直角三角形，
∴∠EBD=45°，
∵BF⊥OB，
∴∠EBD=∠EBF=45°，
在△EBD和△EBF中，

DB=FB ∠EBD=∠EBF BE=BE

，
∴△EBD≌△EBF（SAS），
∴DE=EF，
∴AD=OF=OE+EF=OE+DE．
即AD=OE+DE．
（3）设点M坐标为（m，0）则B（4，0），N（-m+4，0）
直线AB解析式为：y=-x+4，
直线AM解析式为y=-

4

m

+4，∴tan∠M=

4

m

∴直线OE的解析式为y=

m

4

x，
∴E点坐标为（

16

m+4

，

4m

m+4

），
∴tan∠N=

4m m+4

16 m+4 -(4-m)

=

4

m

，
∴∠AMB=∠ONE．

点评：本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等的性质，本题中求证△EBD≌△EBF是解题的关键．