Question

如图，等边△ABC的边AB上一点P，作PE⊥AC于E，Q为BC延长线上一点，当PA=CQ时，连PQ交AC边于D，
①猜想DE与AB的关系？并加以证明；
②若P是AB延长线一点，Q为BC一点，其他条件不变，结论成立吗？画图并证明．
（友情引导：若不知道，你可以动手去量发现结论．若不会，P是动点，你可以把P运动到特殊的地方，发现现在可利用什么性质？接下来证明．发现缺少什么？就补什么？若还不会，你能发现有线段相等吗？尝试证明，你会有惊喜．）

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,等边三角形的性质

专题：动点型

分析：（1）过P做BC的平行线至AC于F，可证△PFD≌△QCD，即可得FD=CD，即可求得AB=2DE；
（2）和（1）求解方法相同，注意根据题意画出图形．

解答：解：（1）过P做BC的平行线至AC于F，

∵PF∥BC，∴△APF为等边三角形，
∵PE⊥AF，∴AE=EF
∵AP=PF，QP=CQ，
∴PF=CQ，
在△PFD和△QCD中，

∠PDF=∠QDC ∠DPE=∠DQC PF=CQ

，
∴△PFD≌△QCD（AAS），
∴FD=CD，
∴AC=DE+AE+CD=DE+EF+FD=2DE．
∴AB=2DE．
（2）过P做BC的平行线至AC于F，

∵PF∥BC，∴△APF为等边三角形，
∵PE⊥AF，∴AE=EF
∵AP=PF，QP=CQ，
∴PF=CQ，
在△PFD和△QCD中，

∠PDF=∠QDC ∠DPF=∠DQC PF=CQ

，
∴△PFD≌△QCD（AAS），
∴FD=CD，
∴AC=CD+AD=DF+AD=DE+EF+AD=DE+AE+AD=2DE．
∴AB=2DE．

点评：本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等的性质，考查了等边三角形的性质．