Question

在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，P为△ABC内一点，且BP=AB，∠ABP=30°，求证：PA=PC．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,等边三角形的性质,等腰直角三角形

专题：

分析：延长BP交AC于E，延长AP交BC于D，连接DE，根据△ACD∽△BCE可得△CDE为等腰直角三角形，即ED=DC，根据角的关系即可求得PD=ED，即可解题．

解答：解：延长BP交AC于E，延长AP交BC于D，连接DE，

∵∠BAC=90°，AB=AC，BP=AB，∠ABP=30°
∴∠BAP=∠BPA=75°，∠CAD=∠CBE=15°，
∴△ACD∽△BCE，
∴

CE

CD

=

BC

AC

=

2

，
∵∠ACB=45°，
∴△CDE为等腰直角三角形，∴ED=DC，且ED⊥BC，
∴∠PED=90°-∠DBE=90°-15°=75°，
∴∠PED=∠EPD=75°，
∴DP=DE，∴DP=DC，
∵∠BDP=180°-∠DBP-∠BPD=60°，
∴∠DPC=∠DCP=30°，
∴∠PCA=15°，
∴AP=PC．

点评：本题考查了等腰三角形腰长相等的性质，考查了等腰三角形的判定，本题中求证DP=CD是解题的关键．