Question

【题目】如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AC＝50cm，∠A＝60°，点D从C点沿CA方向以4cm/s的速度向点A匀速运动，同时点区从A点沿AB方向以2cm/s的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动，设点D、E运动的时间是t秒(0＜t≤15)，过点D作DF⊥BC于点F，连接DE，EF.

(1)求证：AE＝DF；

(2)四边形AEFD能够成为菱形吗？若能，求出相应的t值；若不能，请说明理由.

Answer 1

【答案】(1)证明见解析；(2)能，当t＝10时，AEFD是菱形.

【解析】

（1）根据两动点的速度与时间表示出AE，CD，在直角三角形CDF中，利用30度角所对的直角边等于斜边的一半表示出DF即可；

（2）易证四边形AEFD是平行四边形，当AD＝AE时，四边形AEFD是菱形，据此即可列方程求得t的值．

（1）∵直角△ABC中，∠C＝90°﹣∠A＝30°．

∵CD＝4t，AE＝2t，

又∵在直角△CDF中，∠C＝30°，

∴DF＝CD＝2t，

∴AE＝DF；

（2）∵DF⊥BC，

∴∠CFD＝90°，

∵∠B＝90°，

∴∠B＝∠CFD，

∴DF∥AB，

由（1）得：DF＝AE＝2t，

∴四边形AEFD是平行四边形，

当AD＝AE时，四边形AEFD是菱形，

即60﹣4t＝2t，

解得：t＝10，

即当t＝10时，AEFD是菱形．