Question

【题目】如图，已知顶点为C（0，﹣3）的抛物线y=ax2+b（a≠0）与x轴交于A，B两点，直线y=x+m过顶点C和点B．

（1）求m的值；

（2）求函数y=ax2+b（a≠0）的解析式；

（3）抛物线上是否存在点M，使得∠MCB=15°？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）-3；（2）y=x2﹣3；（3）M的坐标为（3，6）或（，﹣2）．

【解析】（1）把C（0，﹣3）代入直线y=x+m中解答即可；

（2）把y=0代入直线解析式得出点B的坐标，再利用待定系数法确定二次函数关系式即可；

（3）分M在BC上方和下方两种情况进行解答即可．

（1）将（0，﹣3）代入y=x+m，

可得：m=﹣3；

（2）将y=0代入y=x﹣3得：x=3，

所以点B的坐标为（3，0），

将（0，﹣3）、（3，0）代入y=ax2+b中，

可得：，

解得：，

所以二次函数的解析式为：y=x2﹣3；

（3）存在，分以下两种情况：

①若M在B上方，设MC交x轴于点D，则∠ODC=45°+15°=60°，

∴OD=OCtan30°=，

设DC为y=kx﹣3，代入（，0），可得：k=，

联立两个方程可得：，

解得：，，

所以M1（3，6）；

②若M在B下方，设MC交x轴于点E，则∠OEC=45°﹣15°=30°，

∴OE=OCtan60°=3，

设EC为y=kx﹣3，代入（3，0）可得：k=，

联立两个方程可得：，

解得：，， ，

所以M2（，﹣2），

综上所述M的坐标为（3，6）或（，﹣2）．