Question

如图，在抛物线y=x²上取一点P，在x轴上取一点A，使OP=PA，过点A作x轴的垂线与直线OP交于点Q，当△APQ为正三角形时，试求△APQ的面积．

Answer 1

考点：二次函数图象上点的坐标特征

专题：计算题

分析：作PH⊥OA于H，如图，根据二次函数图象上点的坐标特征可设P（t，t²），由PA=PO得到OA=OH，∠POA=∠PAO，再利用△APQ为正三角形得到PQ=PA，∠APQ=60°，所以PO=PQ，∠POA=30°，然后在Rt△POH中，根据含30度的直角三角形三边的关系得t=

3

t²，解得t₁=

3

3

，t₂=0（舍去），即OH=

3

3

，PH=

1

3

，
所以OA=2OH=

2 3

3

，然后根据S_△PAQ=S_△POA和三角形面积公式计算．

解答：解：作PH⊥OA于H，如图，设P（t，t²），
∵PA=PO，
∴OA=OH，∠POA=∠PAO，
∵△APQ为正三角形，
∴PQ=PA，∠APQ=60°，
∴PO=PQ，∠POA=30°，
在Rt△POH中，∵∠POH=30°，OH=t，PH=t²，
∴OH=

3

PH，即t=

3

t²，解得t₁=

3

3

，t₂=0（舍去），
∴OH=

3

3

，PH=

1

3

，
∴OA=2OH=

2 3

3

，
∵OP=PQ，
∴S_△PAQ=S_△POA=

1

2

•

2 3

3

•

1

3

=

3

9

．

点评：本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．也考查了等边三角形的性质．