Question

如图，在?ABCD中，∠A=60°，∠ABD、∠ADB、∠CDB的平分线分别为BF、DE、DG，与?ABCD的边分别交于点F、E、G．
试说明：（1）DF=BG；
（2）BE+BG=BD．

Answer 1

考点：平行四边形的性质,全等三角形的判定与性质

专题：证明题

分析：（1）由四边形ABCD是平行四边形，可得AB∥CD，AD∥BC，又由∠ABD、∠CDB的平分线分别为BF、DG，易证得∠FBD=∠GDB，即可证得DG∥BF，则可证得四边形DFBG是平行四边形，继而证得结论；
（2）首先在BD截取BM=BE，连接HM，易证得△BEH≌△BMH，继而证得△DFH≌△DMH，则可证得结论．

解答：证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AD∥BC，
∴∠ABD=∠CDB，
∵∠ABD、∠CDB的平分线分别为BF、DG，
∴∠FBD=

1

2

∠ABD，∠GDB=

1

2

∠CDB，
∴∠FBD=∠GDB，
∴DG∥BF，
∴四边形DFBG是平行四边形，
∴DF=BG；

（2）在BD截取BM=BE，连接HM，
∵∠A=60°，∠ABD、∠ADB的平分线分别为BF、DE，
∴∠1=∠4=60°，∠BHD=120°，
在△BEH和△BMH中，

BH=BM ∠EBH=∠MBH BE=BM

，
∴△BEH≌△BMH（SAS），
∴∠1=∠2=∠3=∠4=60°，
在△DFH和△DMH中，

∠4=∠3 DH=DH ∠FDH=∠MDH

，
∴△DFH≌△DMH（ASA），
∴DF=DM，
∴BD=BM+DM=BE+DF=BE+BG．

点评：此题考查了平行四边形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．