【题目】勾股定理是几何学中的明珠,充满着魅力,千百年来,人们对它趋之若鹜,其中有著名的数学家,也有业余数学爱好者,向常春在1994年构造发现了一个新的证法:把两个全等的直角三角形如图1放置,其三边长分别为a、b、c,显然∠DAB=∠B=90°,AC⊥DE.
(1)请用a、b、c分别表示出梯形ABCD、四边形AECD、△EBC的面积,再通过探究这三个图形面积之间的关系,证明:勾股定理a2+b2=c2;
(2)如图2,铁路上A、B两点(看作直线上的两点)相距40千米,C、D为两个村庄(看作两个点),AD⊥AB,BC⊥AB,垂足分别为A、B,AD=24千米,BC=16千米,在AB上有一个供应站P,且PC=PD,求出AP的距离;
(3)借助(2)的思考过程与几何模型,直接写出代数式的最小值为 .
【答案】(1)见解析;(2)16千米;(3)20 .
【解析】
(1)表示出三个图形的面积进行加减计算可证a2+b2=c2
(2)以(1)中关于直角三角形的结论和K型模型建立方程关系,解方程可得AP的值
(3)将条件中的数表示为直角三角形的直角边,画对应图形,作轴对称图形,在三点共线时有最小值.
解:(1)梯形ABCD的面积
四边形AECD的面积
△EBC的面积
∵梯形ABCD的面积=四边形AECD的面积+△EBC的面积
∴
∴a2+b2=c2
(2)如图,当DP=PC时
设AP=a,BP=40﹣a
∵DP2=CP2
∴AP2+AD2=BP2+CB2
∴a2+242=(40﹣a)2+162
解得 a=16
∴AP=16千米
(3)如图,
∴AB+BC的最小值即为H、B、C三点共线时
HC==20
∴的最小值为20
故答案为:20
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【题目】用正方形硬纸板做三棱柱盒子,每个盒子由3个矩形侧面和2个正三角形底面组成。硬纸板以如图两种方式裁剪(裁剪后边角料不再利用)
A方法:剪6个侧面; B方法:剪4个侧面和5个底面。
现有19张硬纸板,裁剪时张用A方法,其余用B方法。
(1)用的代数式分别表示裁剪出的侧面和底面的个数;
(2)若裁剪出的侧面和底面恰好全部用完,问能做多少个盒子?
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【题目】正方形ABCD的轨道上有两个点甲与乙,开始时甲在A处,乙在C处,它们沿着正方形轨道顺时针同时出发,甲的速度为每秒1 cm,乙的速度为每秒5 cm,已知正方形轨道ABCD的边长为2 cm,则乙在第2 020次追上甲时的位置在( )
A.AB上B.BC上
C.CD上D.AD上
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【题目】某学校要从甲乙两名射击运动员中挑选一人参加全市比赛,在选拔赛中,每人进行了5次射击,甲的成绩(环)为:9.7,10,9.6,9.8,9.9;乙的成绩的平均数为9.8,方差为0.032;
(1)甲的射击成绩的平均数和方差分别是多少?
(2)据估计,如果成绩的平均数达到9.8环就可能夺得金牌,为了夺得金牌,应选谁参加比赛?
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【题目】如图,正方形OABC的边长为4,对角线相交于点P,顶点A、C分别在x轴、y轴的正半轴上,抛物线L经过0、P、A三点,点E是正方形内的抛物线上的动点.
(1)点P的坐标为______
(2)求抛物线L的解析式.
(3)求△OAE与△OCE的面积之和的最大值.
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【题目】点,在数轴上分别表示有理数,,,两点之间的距离表示为,在数轴上,两点之间的距离.已知数轴上,两点表示数,满足,点为数轴上一动点,其对应的数为.
(1),两点之间的距离是.
(2)与之间的距离表示为.
(3)数轴上是否存在点,使点到点,点的距离之和为?若存在,请求出的值;若不存在,说明理由.
(4)现在点,点分别以单位/秒和单位/秒的速度同时向右运动,当点与点之间的距离为个单位长度时,求点所对应的数是多少?
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【题目】根据题意, 补全解题过程:
如图,∠AOB=90°,OE平分∠AOC,OF平分∠BOC. 求∠EOF的度数.
解:因为OE平分∠AOC,OF平分∠BOC
所以∠EOC =∠AOC,∠FOC =________.
所以∠EOF =∠EOC-________
=(∠AOC-_______)
= ________
=_________°.
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【题目】夏师傅是一名徒步运动的爱好者,他用手机软件记录了某个月(30天)每天徒步的步数(单位:万步),将记录结果绘制成了如图所示的统计图.在这组徒步数据中,众数和中位数分别是( )
A. 1.2,1.3 B. 1.4,1.3 C. 1.4,1.35 D. 1.3,1.3
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