Question

已知二次函数y=ax²+bx+c的图象过点C（0，

3

5

），与x轴交于两点A（x₁，0），B（x₂，0）（x₂＜x₁），且x₁、x₂是方程x²-4x-5=0的两实数根．
（1）求A、B两点的坐标；
（2）求二次函数的解析式及顶点坐标．

Answer 1

考点：抛物线与x轴的交点

专题：计算题

分析：（1）根据抛物线与x轴的交点问题解方程x²-4x-5=0即可得到A、B两点的坐标；
（2）利用交点式求解析式：设抛物线解析式为y=a（x-5）（x+1），再把点C坐标代入求出a即可得到抛物线解析式，然后利用抛物线的对称性得到对称轴为直线x=2，于是计算自变量为2的函数值即可得到抛物线的顶点坐标．

解答：解：（1）解方程x²-4x-5=0得x₁=5，x₂=-1，
所以A（5，0），B（-1，0）；
（2）设抛物线解析式为y=a（x-5）（x+1），
把点C（0，

3

5

）代入得a•（-5）•1=

3

5

，解得a=-

3

25

，
所以抛物线解析式为y=-

3

25

（x-5）（x+1）=-

3

25

x²+

12

25

x+

3

5

，
当x=2时，y=-

3

25

（x-5）（x+1）=

27

25

，
所以抛物线的顶点坐标为（2，

27

25

）．

点评：本题考查了抛物线与x轴的交点：二次函数y=ax²+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的交点与一元二次方程ax²+bx+c=0根之间的关系，△=b²-4ac决定抛物线与x轴的交点个数：△=b²-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b²-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b²-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．利用抛物线的交点式求解析式简便．