Question

10．如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=2，BC=4，P是AB边上的一个动点．
（1）当CP平分∠ACB时，则点P到BC的距离是$\frac{4}{3}$．
（2）过点P作PQ⊥CP，PQ交边CB于Q，设AP=x，BQ=y，则y关于x的函数关系式是y=4-$\frac{2\sqrt{5}}{5}$x，定义域为0＜x＜2$\sqrt{5}$．

Answer 1

分析 （1）先根据勾股定理求出AB的长，过点P作PQ⊥BC，PE⊥AC，垂足分别为Q、E，根据CP平分∠ACB可得出PE=PQ，故可得出△PBC的面积，据此可得出结论；
（2）利用x表示出BP的长，再由PQ⊥BC可得出△BPQ∽△BAC，根据相似三角形的对应边成比例即可得出结论．

解答 解：（1）∵Rt△ABC中，∠C=90°，AC=2，BC=4，
∴AB=$\sqrt{A{C}^{2}+B{C}^{2}}$=$\sqrt{{2}^{2}+{4}^{2}}$=2$\sqrt{5}$．
过点P作PQ⊥BC，PE⊥AC，垂足分别为Q、E，
∵CP平分∠ACB，
∴PE=PQ，
∴S_△APC：S_△PBC=AC：BC=2：4=1：2，
∴S_△PBC=$\frac{2}{3}$S_△ABC=$\frac{2}{3}$×$\frac{1}{2}$×2×4=$\frac{8}{3}$，
∴$\frac{1}{2}$BC•PQ=$\frac{8}{3}$，即$\frac{1}{2}$×4PQ=$\frac{8}{3}$，解得PQ=$\frac{4}{3}$．
故答案为：$\frac{4}{3}$；

（2）∵AP=x，AB=2$\sqrt{5}$，
∴BP=2$\sqrt{5}$-x．
∵PQ⊥BC，AC⊥BC，
∴PQ∥AC，
∴△BPQ∽△BAC，
∴$\frac{BP}{AB}$=$\frac{BQ}{BC}$，即$\frac{2\sqrt{5}-x}{2\sqrt{5}}$=$\frac{y}{4}$，即y=4-$\frac{2\sqrt{5}}{5}$x（0＜x＜2$\sqrt{5}$）．
故答案为：y=4-$\frac{2\sqrt{5}}{5}$x，0＜x＜2$\sqrt{5}$．

点评 本题考查的是勾股定理及相似三角形的判定与性质，根据题意作出辅助线，构造出相似三角形是解答此题的关键．