Question

19．矩形ABCD中，AB=4，AD=6，点E是BC的中点，过点D作DF⊥AE于点F，求cos∠ADF的值．

Answer 1

分析 首先证明∠ADF=∠BAE，在Rt△ABE中，AE=$\sqrt{A{B}^{2}+B{E}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}+{3}^{2}}$=5，根据cos∠ADF=cos∠BAE=$\frac{AB}{AE}$，计算即可．

解答 解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC=6，∠B=∠BAD=90°，
∵DF⊥AE，
∴∠AFD=90°，
∵∠ADF+∠DAF=90°，∠DAF+∠BAE=90°，
∴∠ADF=∠BAE，
∵BE=EC=$\frac{1}{2}$BC=3，
在Rt△ABE中，AE=$\sqrt{A{B}^{2}+B{E}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}+{3}^{2}}$=5，
∴cos∠ADF=cos∠BAE=$\frac{AB}{AE}$=$\frac{4}{5}$．

点评 本题考查矩形的性质、解直角三角形等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．