Question

【题目】已知抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于点A(4，﹣5)．

（1）如图，过点A分别向x轴、y轴作垂线，垂足分别为B、C，得到矩形ABOC，且抛物线经过点C．

①求抛物线的解析式．

②将抛物线沿直线x＝m（2＞m＞0）翻折，分别交线段OB、AC于D，E两点．若直线DE刚好平分矩形ABOC的面积，求m的值．

（2）将抛物线旋转180°，使点A的对应点为A1(m﹣2，n﹣4)，其中m≤2．若旋转后的抛物线仍然经过点A，求旋转后的抛物线顶点所能达到最低点时的坐标．

Answer 1

【答案】（1）①y＝x2﹣4x﹣5，②；（2）(2，﹣1)

【解析】

（1）①由矩形的性质确定点C的坐标，将点C、A的坐标代入y＝x2+bx+c即可求出抛物线的解析式；

②求出抛物线y＝x2﹣4x﹣5的对称轴，求出翻折后的抛物线的对称轴，可写出翻折后的解析式，求出D，E两点坐标，因为直线DE刚好平分矩形ABOC的面积，则必过矩形对角线的交点Q(2，﹣)，则可列出关于m的方程，即可求出m的值；

（2）由点A、A1的坐标可求出旋转中心的坐标，进一步推出原顶点的对称点，可写出旋转后的抛物线解析式，因为旋转后的抛物线仍然经过点A，将点A的坐标代入旋转后的解析式，可得关于m、n的等式，将m＝2代入，可求出n的值，即可写出旋转后的抛物线顶点所能达到最低点时的坐标．

解：（1）①∵点A(4，﹣5)，且四边形ABOC为矩形，

∴C(0，﹣5)，

∴抛物线的解析式为y＝x2+bx﹣5，

将点A(4，﹣5)代入y＝x2+bx﹣5，

得，b＝﹣4，

∴抛物线的解析式为y＝x2﹣4x﹣5；

②在抛物线y＝x2﹣4x﹣5中，

对称轴为直线x＝﹣＝2，

∵抛物线y＝x2﹣4x﹣5沿直线x＝m(2＞m＞0)翻折，

∴设翻折后的抛物线对称轴为直线x＝n，

∴=m，

∴n＝2m﹣2，

∴翻折后的抛物线为y＝[x﹣(2m﹣2)]2﹣9，

在y＝[x﹣(2m﹣2)]2﹣9中，当y＝0时，x1＝2m+1，x2＝2m﹣5；当y＝﹣5时，x1＝2m，x2＝2m﹣4；

∵如下图，抛物线y＝[x﹣(2m﹣2)]2﹣9分别交线段OB、AC于D，E两点，

∴D(2m+1，0)，E(2m，﹣5)，

∵直线DE刚好平分矩形ABOC的面积，

∴必过矩形对角线的交点Q(2，﹣)，

即＝2，

∴m＝；

（2）∵将抛物线旋转180°，使点A的对应点为A1(m﹣2，n﹣4)，其中m≤2，

∵A(4，﹣5)，

∴旋转中心为(，)，

∴原顶点的对称点为(m，n)，

∴旋转后的抛物线为y＝﹣(x﹣m)2+n，

∵旋转后的抛物线仍然经过点A，

∴﹣5＝﹣(4﹣m)2+n，

∵m≤2，

∴当m＝2时，n＝﹣1，

∵旋转后抛物线开口向下，

∴旋转后的抛物线顶点所能达到最低点时的坐标(2，﹣1)．