Question

【题目】如图，已知二次函数y＝ax2＋bx－5（a，b是常数，a0）的图象与x轴交于点A（－1，0）和点B（5，0）．动直线y＝t（t为常数）与抛物线交于不同的两点P、Q（点P在Q的左侧）．

（1）求抛物线的解析式；

（2）动直线y＝t与y轴交于点C，若CQ=3CP，求t的值；

（3）将抛物线y＝ax2＋bx－5在x轴下方的部分沿x轴翻折，若动直线y＝t与翻折后的图像交于点M、N，点M、N能否是线段PQ的三等分点？若能，求PQ的长度；若不能，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1） ；（2）-8或7；（3）能，

【解析】

（1）将点A，点B的坐标代入抛物线，解方程组即可求出抛物线解析式；

（2）分y＝t在x轴的上方或在x轴下方两种进行讨论，根据抛物线的对称性和CQ=3CP即可求出点P，点Q的横坐标，将点Q的坐标代入抛物线即可求得t的值；

（3）根据对称性可得翻折后的抛物线的解析式，再根据点P，点Q是直线y=t与抛物线，点M，点N是抛物线的交点，联立方程，求得点P，Q，M，N的坐标，再利用点M、N是线段PQ的三等分点，得出PM=MN=NQ，据此求出t的值，即可求出线段PQ的长．

解：（1）∵A（－1，0），B（5，0）在抛物线上，

∴，解得：，

∴二次函数关系式为y＝x2－4 x－5；

（2）当y＝t在x轴的上方，如图，

抛物线的对称轴，与直线y＝t交于点H，

∴CH=2，

根据抛物线的对称性可得，PH=QH，

∵CQ=3CP，

∴PH=CH=2，QH=2CH=4，

∴CQ=6，

∴点Q的坐标为，

∵点Q在抛物线y＝x2－4 x－5上，代入得，

，

当y＝t在x轴的上方，如图，

此时，根据抛物线的对称性可得，

CH=HQ，

∵CQ=3CP，

∴CP=PH=1，HQ=2CP=2，

∴点P的坐标为，

∵点P在抛物线y＝x2－4 x－5上，代入得，

，

综上所述，t＝或7 ；

（3）点M、N可以是线段PQ的三等分点，此时，

抛物线的顶点坐标为，

将抛物线y＝ax2＋bx－5在x轴下方的部分沿x轴翻折，

∴点E与点D关于x轴对称，点E的坐标为，

∴翻折后的抛物线解析式为：，

∵直线y=t与抛物线交于P，Q两点，

∴ ，解得：，

∴点P的坐标为，点Q的坐标为，

∵直线y=t与抛物线交于M，N两点，

∴ ，解得：,

∴点M的坐标为，点N的坐标为，

要使点M、N是线段PQ的三等分点，则PM=MN=NQ，

，

解得：，

∴,