Question

【题目】如图，在矩形纸片中，，对折矩形纸片，使与重合，折痕为，展平后再过点折叠，使点落在上的点，折痕为．再次展平，连接，，有下列结论：①；②与相似；③的长为：④若分别为线段上的动点（不包含端点），则的最小值是．其中正确结论的序号是__________．

Answer 1

【答案】①②④

【解析】

①如图，连接AN，根据线段垂直平分线的性质得到AN=BN，根据折叠的性质得到AB=BN，推理出△ABN为等边三角形，得到∠ABN=60°，于是得到∠ABM=∠MBN=∠CBN=30°，即结论①正确；

②根据折叠的性质，可得∠BNM=∠BAD=90°，∠BEN=∠AEN=90°，根据相似三角形的判定定理得到△BEN与△BMN相似，即结论②正确；

③解直角三角形得到MN=BN=，即结论③错误；

④过A作AQ⊥BN于Q交BM于P，则此时PN+PQ的值最小，且PN+PQ=AQ，解直角三角形得到PN+PQ的最小值是 .即结论④正确．

解:①如图，连接AN，

∵EF垂直平分AB，∴AN=BN，

根据折叠的性质，可得AB=BN，

∴AN=AB=BN=2．

∴△ABN为等边三角形，

∴∠ABN=60°，

∴∠ABM=∠MBN=∠CBN=30°，

即结论①正确；

②根据折叠的性质，可得∠BNM=∠BAD=90°，∠BEN=∠AEN=90°，

∴∠BEN=∠BNM，

∵∠MBN=30°，∠EBN=60°，∴∠BMN=60°，

∴∠EBN=∠BMN，

∴△BEN与△BMN相似，

即结论②正确；

③∵∠ABM=∠MBN=30°，BN=AB=2，∠BNM=∠BAM=90°，

∴MN=BN=，即结论③错误；

④∵A点和N点关于BM对称，

∴过A点作于Q交BM于P，

此时PN+PQ的值最小，且PN+PQ=AQ，

∵∠ABQ=60°，AB=2，

∴AQ=AB=，

∴PN+PQ的最小值是 .

即结论④正确．

故答案为①②④．