【题目】已知:如图,在中,的角平分线交边于.
(1)以边上一点为圆心,过两点作(不写作法,保留作图痕迹),再判断直线与的位置关系,并说明理由;
(2)若(1)中的与边的另一个交点为,,求线段与劣弧所围成的图形面积.(结果保留根号和)
【答案】解:(1)作图见解析;直线与相切.(2)
【解析】
(1)根据题意得:O点应该是AD垂直平分线与AB的交点;由∠BAC的角平分线AD交BC边于D,与圆的性质可证得AC∥OD,又由∠C=90°,则问题得证;
(2)设⊙O的半径为r.则在Rt△OBD中,利用勾股定理列出关于r的方程,通过解方程即可求得r的值;然后根据扇形面积公式和三角形面积的计算可以求得“线段BD、BE与劣弧DE所围成的图形面积为:S△ODB-S扇形ODE=2-π.
(1)如图:连接OD,
∵OA=OD,
∴∠OAD=∠ADO,
∵∠BAC的角平分线AD交BC边于D,
∴∠CAD=∠OAD,
∴∠CAD=∠ADO,
∴AC∥OD,
∵∠C=90°,
∴∠ODB=90°,
∴OD⊥BC,
即直线BC与⊙O的切线,
∴直线BC与⊙O的位置关系为相切;
(2)设⊙O的半径为r,则OB=6-r,又BD=2,
在Rt△OBD中,
OD2+BD2=OB2,
即r2+(2)2=(6-r)2,
解得r=2,OB=6-r=4,
∴∠DOB=60°,
∴S扇形ODE=π,
S△ODB=ODBD=×2×2=2,
∴线段BD、BE与劣弧DE所围成的图形面积为:S△ODB-S扇形ODE=2-π.
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【题目】如图,在美化校园的活动中,数学兴趣小组用16m长的篱笆,一边靠墙围成一个矩形花园ABCD,墙长为6m,设ABm.
(1)若花园的面积为14,求的值;
(2)花园的面积能否为40?为什么?
(3)若要求花园的面积大于24,求的取值范围.
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【题目】如图所示,△ABC是圆O的内接三角形,过点O作OD⊥AB与点D,连接OA,点E是AC的中点,延长EO交BC于点F.
(1)求证:△CEF∽△ODA.
(2)若,△ABC是不是等腰三角形?并说明理由.
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【题目】为了了解班级学生数学课前预习的具体情况,郑老师对本班部分学生进行了为期一个月的跟踪调查,他将调查结果分为四类:A:很好;B:较好;C:一般;D:不达标,并将调查结果绘制成以下两幅不完整的统计图,请你根据统计图解答下列问题:
(1)C类女生有 名,D类男生有 名,将上面条形统计图补充完整;
(2)扇形统计图中“课前预习不达标”对应的圆心角度数是 ;
(3)为了共同进步,郑老师想从被调查的A类和D类学生中各随机机抽取一位同学进行“一帮一”互助学习,请用画树状图或列表的方法求出所选两位同学恰好是一男一女同学的概率,
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【题目】2022年在北京将举办第24届冬季奥运会,很多学校都开展了冰雪项目学习.如图,滑雪轨道由AB、BC两部分组成,AB、BC的长度都为200米,一位同学乘滑雪板沿此轨道由A点滑到了C点,若AB与水平面的夹角α为20°,BC与水平面的夹角β为45°,则他下降的高度为___________米(精确到1米,,sin20o=0.3420,tan20o=0.3640,cos20o=0.9400).
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【题目】如图,在矩形纸片中,,对折矩形纸片,使与重合,折痕为,展平后再过点折叠,使点落在上的点,折痕为.再次展平,连接,,有下列结论:①;②与相似;③的长为:④若分别为线段上的动点(不包含端点),则的最小值是.其中正确结论的序号是__________.
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【题目】甲、乙两人加工同一种零件,甲每天加工的数量是乙每天加工数量的 1.5 倍,两人各加工 600 个这种零件,甲比乙少用 5 天.
(1)求甲、乙两人每天各加工多少个这种零件?
(2)已知甲、乙两人加工这种零件每天的加工费分别是 150 元和 120 元,现有 3000 个这种零件的加工任务,甲单独加工一段时间后另有安排,剩余任务由乙单独完成.如果总加工费不超过 7800 元,那么甲至少加工了多少天?
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【题目】为了强化学生的环保意识,某校团委在全校举办了“保护环境,人人有责”知识竞赛活动,初、高中根据初赛成绩,各选出5名选手组成初中代表队和高中代表队进行复赛,两个队学生的复赛成绩(满分10分)如图所示:
(1)根据图示填写下表:
平均分 | 中位数 | 众数 | 方差 | |
初中队 | 8.5 | 0.7 | ||
高中队 | 8.5 | 10 |
(2)小明同学说:“这次复赛我得了8分,在我们队中排名属中游偏下!”小明是初中队还是高中队的学生?为什么?
(3)结合两队成绩的平均分、中位数和方差,分析哪个对的复赛成绩较好.
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【题目】在平面直角坐标系中,,,轴,如图1,,且.
(1)点坐标为__________,点坐标为__________;
(2)求过、、三点的抛物线表达式;
(3)如图2,抛物线对称轴与交于点,现有一点从点出发,以每秒1个单位的速度在上向点运动,另一点从点与点同时出发,以每秒5个单位在抛物线对称轴上运动.当点到达点时,点、同时停止运动,问点、运动到何处时,面积最大,试求出最大面积.
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