Question

【题目】在平面直角坐标系中，，，轴，如图1，，且．

（1）点坐标为__________，点坐标为__________；

（2）求过、、三点的抛物线表达式；

（3）如图2，抛物线对称轴与交于点，现有一点从点出发，以每秒1个单位的速度在上向点运动，另一点从点与点同时出发，以每秒5个单位在抛物线对称轴上运动．当点到达点时，点、同时停止运动，问点、运动到何处时，面积最大，试求出最大面积．

Answer 1

【答案】(1)；(2) (3) 当点坐标为点坐标为或时，面积最大，最大面积为

【解析】

（1）由C（1，0）得OC=1，由1:2得OA=2，即A（0，2），由勾股定理求出AC的长，过点B 作BE⊥x轴，证明△ACO∽△CBE，可得BE，CE的长，从而可得结论；

（2）设抛物线表达式为y=ax2+bx+c，把A、B、C三点坐标代入，求解方程组得到a、b、c的值即可；

（3）根据题意求出BP=5-t，DQ=5t，结合三角形面积公式可得到，求出其最大值时即可得出P、Q坐标．

（1）∵C（1，0），

∴OC=1，

∵1:2．

∴OA=2，

∴A（0，2），

∴AC= ，

∵，

∴BC=2，

过点B 作BE⊥x轴，垂足为点E，如图，

∵∠ACB=90°，

∴∠ACO+∠BCE=90°，

∵∠OAC+∠ACO=90°，

∴∠OAC=∠BCE，

又∠AOC=∠BEC=90°，

∴△ACO∽△CBE，

∴，

∴CE=4，BE=2，

∴OE=OC+CE=5，

∴B(5,0)，

故答案为：，；

（2）设过、、三点的抛物线表达式为y=ax2+bx+c，

把A（0，2）、B（5，2）、C（1，0）三点坐标代入，得：

，

解得， ，

所以，过、、三点的抛物线表达式为：；

（3）解：在Rt△ABC中，BC=2，AC=，∠ACB=90°，

所以，AB=，

设运动秒时，面积最大，且，

则，，

，

当时，

面积最大值，

此时点坐标为，

当点向上运动时，点坐标为

当点向下运动时，点坐标为

综上所述，当点坐标为，点坐标为或时，面积最大，最大面积为．