Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过A（-1,0）B（4，0），C（0，4）三点．

（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；

（2）将（1）中的抛物线向下平移个长度单位，再向左平移h(h＞0)个长度单位，得到新抛物线．若新抛物线的顶点在△ABC内，求h的取值范围；

（3）点P为线段BC上的一动点（点P不与点B,C重合），过点P作x轴的垂线交（1）中的抛物线于点Q，当△PQC与△ABC相似时，求△PQC的面积．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）的面积为或.

【解析】

（1）把，，代入中求出抛物线解析式，然后配方求出顶点坐标即可；

（2）根据二次函数平移的性质得到，得到顶点的坐标为 ，然后分情况讨论当在直线BC上时，，解得；当在直线AC上时，，解得，即可解答；

（3）由题意可得，再根据A,B,C的坐标设，则，得到，，根据题意可知点P与点B是对应点，再分情况讨论：当时，；当时，.

解：（1）把，，代入中，得：

，解得.

抛物线的解析式为

.

顶点D的坐标是；

（2）将抛物线向下平移个单位长度，再向左平移个单位长度得抛物线.

新抛物线的顶点的坐标是.

由题意得：直线BC的解析式为，直线AC的解析式为.

当顶点在直线BC上时，，解得.

当顶点在直线AC上时，，解得.

新抛物线的顶点在内，的取值范围是.

（3）如图，直线PQ交x轴于点M，

，.

，

.

轴

.

.

，，，

，.

设，则

，.

由题意得，，，点P与点B是对应点.

①当时，，

.

（舍）或.

，

...

②当时，，

（舍）或.

，

.

综上所述：的面积为或...