Question

【题目】如图，已知在正方形中，，是线段上的一动点，连接，过点作交于点.以为直径作，当点从点移动到点时，对应点也随之运动，则点运动的路程长度为____________.

Answer 1

【答案】

【解析】

连接AC，取AC的中点K，连接OK．设AP＝x，AE＝y，求出AE的最大值，进而求出OK的最大值，由题意点O的运动路径的长为2OK，由此即可解决问题．

解：连接AC，取AC的中点K，连接OK．设AP＝x，AE＝y，

∵四边形ABCD是正方形，

∴ ．

∵PE⊥CP，

∴∠APE+∠CPD＝90°，且∠AEP+∠APE＝90°，

∴∠AEP＝∠CPD，且∠EAP＝∠CDP＝90°，

∴△APE∽△DCP，

∴，

即

∴

∴当x＝时，y的最大值为1，

∴AE的最大值＝1，

∵AK＝KC，EO＝OC，

∴OK＝AE＝，

∴OK的最大值为，

由题意点O的运动路径的长为2OK＝1，

故答案为：1．