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【题目】如图1,以为直径作半圆,点在半圆上,连结,且.连结边上的高,过点的延长线于点,交于点.

1)求证:.

2)当的中点时,求的值.

3)如图2,取的中点,连结.

①若,在点运动过程中,当四边形的其中一边长是2倍时,求所有满足条件的.

②连结,当的面积是的面积的3倍时,求的值(请直接写出答案).

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【答案】1)见解析;(2;(3)①当时,四边形其中一边长为2倍;②

【解析】

1)先证明 再证明,从而可得结论;

2)先证明是等边三角形,再证明,利用锐角三角函数可得结论;(3)①分情况讨论:iiiiii,结合图形性质可得结论;②当的面积是的面积的3倍时,得到 结合图形的性质用含的代数式表示 利用正切的定义可得答案.

解:(1)∵

.

的直径,

,且

.

.

.

2)∵边上的高,且

.

.

.

又∵中点,且

.

是等边三角形,

.

3)①i,由题意得:

,则

,得

.

.

ii

,则.

得,

,化简

(舍)

iii

由于,且

∴不存在

综上所述,当时,四边形其中一边长为2.

②如图,当的面积是的面积的3倍时,

的中点,

解得: 舍去,

同理可得:

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