【题目】如图1,以为直径作半圆,点在半圆上,连结,,且.连结,是边上的高,过点作交的延长线于点,交于点.
(1)求证:.
(2)当为的中点时,求的值.
(3)如图2,取的中点,连结.
①若,在点运动过程中,当四边形的其中一边长是的2倍时,求所有满足条件的长.
②连结,当的面积是的面积的3倍时,求的值(请直接写出答案).
图1图2
【答案】(1)见解析;(2);(3)①当或时,四边形其中一边长为的2倍;②
【解析】
(1)先证明 再证明,从而可得结论;
(2)先证明是等边三角形,再证明,利用锐角三角函数可得结论;(3)①分情况讨论:i当,ii当,iii当,结合图形性质可得结论;②当的面积是的面积的3倍时,得到 设则 结合图形的性质用含的代数式表示 利用正切的定义可得答案.
解:(1)∵,
∴.
∵为的直径,
∴,且,
∴.
∴.
∴.
(2)∵为边上的高,且,
∴.
∴.
∴.
又∵为中点,且,
∴.
∴是等边三角形,
∴.
∵.
,
∴
(3)①i当,由题意得:
设为,则
∴
由,得
∴.
由
得.
∴
ii当
设为,则.
由得,
,化简,
,(舍)
∴
iii当
由于,且
∴不存在
综上所述,当或时,四边形其中一边长为的2倍.
②如图,当的面积是的面积的3倍时,
设则
为的中点,
设 则
解得: 或舍去,
同理可得:
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【题目】如图,抛物线y=x2+mx(m<0)交x轴于O,A两点,顶点为点B.
(1)求△AOB的面积(用含m的代数式表示);
(2)直线y=kx+b(k>0)过点B,且与抛物线交于另一点D(点D与点A不重合),交y轴于点C.过点C作CE∥AB交x轴于点E.
(ⅰ) 若∠OBA=90°,2<<3,求k的取值范围;
(ⅱ) 求证:DE∥y轴.
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【题目】如图,已知在正方形中,,是线段上的一动点,连接,过点作交于点.以为直径作,当点从点移动到点时,对应点也随之运动,则点运动的路程长度为____________.
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【题目】已知二次函数及一次函数,将该二次函数在轴上方的图象沿轴翻折到轴下方,图象的其余部分不变,得到一个新函数的图象(如图所示),当直线与新函数图象有4个交点时,的取值范围是( )
A.B.C.D.
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【题目】已知二次函数的图象与轴交于点(点在点的左侧),与轴交于点,顶点为.
(Ⅰ)当时,求二次函数的最大值;
(Ⅱ)当时,点是轴上的点,,将点绕点顺时针旋转90°得到点,点恰好落在该二次函数的图象上,求的值;
(Ⅲ)是该二次函数图象上的一点,在(Ⅱ)的条件下,连接,,使,求点的坐标.
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【题目】如图,RtABC中,∠C=90°,AC=10,BC=16.动点P以每秒3个单位的速度从点A开始向点C移动,直线l从与AC重合的位置开始,以相同的速度沿CB方向平行移动,且分别与CB,AB边交于E,F两点,点P与直线l同时出发,设运动的时间为t秒,当点P移动到与点C重合时,点P和直线l同时停止运动.在移动过程中,将PEF绕点E逆时针旋转,使得点P的对应点M落在直线l上,点F的对应点记为点N,连接BN,当BN∥PE时,t的值为_____.
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【题目】在平面直角坐标系xOy中,点A坐标为,点B的坐标为.将二次函数的图象经过左(右)平移个单位再上(下)平移个单位得到图象M,使得图象M的顶点落在线段AB上.下列关于a,b的取值范围,叙述正确的是( )
A.,B.,
C.,D.,
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【题目】一个四位数,记千位数字与个位数字之和为,十位数字与百位数字之和为,如果,那么称这个四位数为“对称数”
最小的“对称数”为 ;四位数与之和为最大的“对称数”,则的值为 ;
一个四位的“对称数”,它的百位数字是千位数字的倍,个位数字与十位数字之和为,且千位数字使得不等式组恰有个整数解,求出所有满足条件的“对称数”的值.
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