Question

如图所示，在正方形ABCD中，E是BC上的点连接AE．作BF⊥AE垂足为H，交CD于F作CG∥AE，交BF于G．求证：
（1）CG=BH；
（2）FC²=BF•GF．

Answer 1

考点：正方形的性质,全等三角形的判定与性质,相似三角形的判定与性质

专题：证明题

分析：（1）根据正方形的性质可得AB=BC，再利用同角的余角相等求出∠BAH=∠CBG，再利用“角角边”证明△ABH和△BCG全等，根据全等三角形对应边相等可得CG=BH；
（2）利用两组角对应相等，两三角形相似求出△BCF和△CGF相似，然后根据相似三角形对应边成比例列式整理即可得证．

解答：证明：（1）在正方形ABCD中，AB=BC，∠ABC=90°，
∴∠ABH+∠CBG=90°，
∵BF⊥AE，
∴∠BAH+∠ABH=90°，
∴∠BAH=∠CBG，
在△ABH和△BCG中，

∠BAH=∠CBG ∠AHB=∠BGC=90° AB=BC

，
∴△ABH≌△BCG（AAS），
∴CG=BH；

（2）∵BF⊥AE，CG∥AE，
∴CG⊥BF，
∵∠BFC=∠CFG，∠BCD=∠CGF=90°，
∴△BCF∽△CGF，
∴

FC

GF

=

BF

FC

，
∴FC²=BF•GF．

点评：本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，（1）熟记各性质并求出三角形全等是解题的关键，（2）确定出CG⊥BF并求出三角形相似是解题的关键．