Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，A（3，0），B（0，3），过点B画y轴的垂线l，点C在线段AB上，连结OC并延长交直线l于点D，过点C画CE⊥OC交直线l于点E．

（1）求∠OBA的度数，并直接写出直线AB的解析式；

（2）若点C的横坐标为2，求BE的长；

（3）当BE＝1时，求点C的坐标．

Answer 1

【答案】（1）直线AB的解析式为：y＝﹣x+3；（2）BE＝1；（3）C的坐标为（1，2）．

【解析】

（1）根据A（3，0），B（0，3）可得OA=OB=3，得出△AOB是等腰直角三角形，∠OBA=45°，进而求出直线AB的解析式；

（2）作CF⊥l于F，CG⊥y轴于G，利用ASA证明Rt△OGC≌Rt△EFC（ASA），得出EF=OG=1，那么BE=1；

（3）设C的坐标为（m，-m+3）．分E在点B的右侧与E在点B的左侧两种情况进行讨论即可．

（1）∵A（3，0），B（0，3），∴OA＝OB＝3．∵∠AOB＝90°，

∴∠OBA＝45°，∴直线AB的解析式为：y＝﹣x+3；

（2）作CF⊥l于F，CG⊥y轴于G，∴∠OGC＝∠EFC＝90°．∵点C的横坐标为2，点C在y＝﹣x+3上，∴C（2，1），CG＝BF＝2，OG＝1．∵BC平分∠OBE，

∴CF＝CG＝2．∵∠OCE＝∠GCF＝90°，∴∠OCG＝∠ECF，

∴Rt△OGC≌Rt△EFC（ASA），∴EF＝OG＝1，∴BE＝1；

（3）设C的坐标为（m，﹣m+3）．

当E在点B的右侧时，由（2）知EF＝OG＝m﹣1，

∴m﹣1＝﹣m+3，

∴m＝2，

∴C的坐标为（2，1）；

当E在点B的左侧时，同理可得：m+1＝﹣m+3，

∴m＝1，

∴C的坐标为（1，2）．