Question

8．数与形都是数学研究的对象，它们有着密切的联系，我们可以利用图形对整式乘法和因式分解进行研究
（1）计算（a+b）（a+2b）．
小丽的操作步骤如下：
①准备若干块A、B、C型纸片，其中A型纸片是边长为a的正方形，B型纸片是边长分别为a、b的长方形，C型纸片是边长为b的正方形；
②用①中的纸片拼成两边长分别为a+b、a+2b的长方形
③数出用了A型纸片1张，B型纸片3张，C型纸片2张，得（a+b）（a+2b）=a²+3ab+2b²
（2）分解因式a²+5ab+6b²小明的操作步骤如下：
①准备若干块（1）中的A、B、C型纸片
②用1块A型纸片，5块B型纸片和6块纸片拼成一个长方形
③分别计算出长方形相邻两边的长，得a²+5ab+6b²=（a+2b）（a+3b）
（3）计算（a+b）³
请你仿照小丽的探究过程，写出操作步骤
（4）分解因式a³+6a²b+12ab²+8b³
请你仿照小明的探究过程，直接写出因式分解的结果．

Answer 1

分析 （1）根据小丽的操作步骤可以得到问题的答案；
（2）根据小明的操作步骤可以得到问题的答案；
（3）根据第一问中小丽的操作步骤可以设计出相应的方案；
（4）根据小明的操作步骤可以得到问题的答案．

解答 解：（1）根据题意可得，A型纸片1张，B型纸片3张，C型纸片2张，
∴（a+b）（a+2b）=a²+3ab+2b²．
故答案为：a²+3ab+2b²．
（2）根据题意可得，a²+5ab+6b²=（a+2b）（a+3b）．
故答案为：（a+2b）（a+3b）．
（3）计算（a+b）³
操作步骤如下：
①准备若干块A、B、C型纸片，其中A型纸片是边长为a的正方形，B型纸片是边长分别为a、b的长方形，C型纸片是边长为b的正方形；
②用①中的纸片拼成棱长为a+b的正方体；
③数出以a为棱长的正方体一个，以a为边长的正方形做底面，高为b的长方体三个，以b为边长的正方形做底面，高为a的长方体三个，以b为棱长的正方体一个，得（a+b）³=a³+3a²b+3ab²+b³．
（4）分解因式a³+6a²b+12ab²+8b³
根据小明的操作步骤可得，a³+6a²b+12ab²+8b³=（a+2b）³．

点评 本题考查解因式分解的应用，解题的关键是能看懂小丽和小明的操作步骤，在（3）和（4）中可以与长方体和正方体联系在一起．