Question

【题目】如图，抛物线y＝ax2+bx+c经过A（1，0）、B（4，0）、C（0，3）三点．

（1）求该抛物线的解析式；

（2）如图，在抛物线的对称轴上是否存在点P，使得四边形PAOC的周长最小？若存在，求出四边形PAOC周长的最小值；若不存在，请说明理由．

（3）在（2）的条件下，点Q是线段OB上一动点，当△BPQ与△BAC相似时，求点Q的坐标．

Answer 1

【答案】（1） ；（2）存在点P，使得四边形PAOC的周长最小，四边形PAOC周长的最小值为9；（3）Q的坐标或.

【解析】

（1）将A（1，0）、B（4，0）、C（0，3）代入y＝ax2+bx+c，求出a、b、c即可；

（2）四边形PAOC的周长最小值为：OC+OA+BC＝1+3+5＝9；

（3）分两种情况讨论：①当△BPQ∽△BCA，②当△BQP∽△BCA．

解：（1）由已知得，

解得

所以，抛物线的解析式为；

（2）∵A、B关于对称轴对称，如下图，连接BC，与对称轴的交点即为所求的点P，此时PA+PC＝BC，

∴四边形PAOC的周长最小值为：OC+OA+BC，

∵A（1，0）、B（4，0）、C（0，3），

∴OA＝1，OC＝3，BC＝5，

∴OC+OA+BC＝1+3+5＝9；

∴在抛物线的对称轴上存在点P，使得四边形PAOC的周长最小，四边形PAOC周长的最小值为9；

（3）如上图，设对称轴与x轴交于点D．

∵A（1，0）、B（4，0）、C（0，3），

∴OB＝4，AB＝3，BC＝5，

直线BC：，

由二次函数可得，对称轴直线，

∴，

①当△BPQ∽△BCA，

，

，

，

，

②当△BQP∽△BCA，

，

，

，

，

，

综上，求得点Q的坐标或