Question

9．为了节省材料，某农户利用一段足够长的墙体为一边，用总长为40m的篱笆围成如图所示的①②③三块矩形区域，而且这三块矩形区域的面积相等．
（1）求AE：EB的值；
（2）设BC的长为xm，矩形区域的面积为ym²．求y与x之间的函数关系式，并注明自变量x的取值范围；
（3）在（2）的条件下，当x为何值时，y有最大值？最大值是多少？

Answer 1

分析 （1）根据三个矩形面积相等，得到矩形AEFD面积是矩形BCFE面积的2倍，可得出AE=2BE，于是得到结论；
（2）根据三个矩形面积相等，得到矩形AEFD面积是矩形BCFE面积的2倍，可得出AE=2BE，设BE=a，则有AE=2a，表示出a与2a，进而表示出y与x的关系式，并求出x的范围即可；
（3）利用二次函数的性质求出y的最大值，以及此时x的值即可．

解答 解：（1）∵三块矩形区域的面积相等，
∴矩形AEFD面积是矩形BCFE面积的2倍，
∴AE=2BE，
∴AE：EB=2：1；

（2）∵三块矩形区域的面积相等，
∴矩形AEFD面积是矩形BCFE面积的2倍，
∴AE=2BE，
设BE=a，则AE=2a，
∴8a+2x=40，
∴a=-$\frac{1}{4}$x+5，3a=-$\frac{3}{4}$x+15，
∴y=（-$\frac{3}{4}$x+15）x=-$\frac{3}{4}$x²+15x，
∵a=-$\frac{1}{4}$x+5＞0，
∴x＜20，
则y=-$\frac{3}{4}$x²+15x（0＜x＜20）；

（3）∵y=-$\frac{3}{4}$x²+15x=-$\frac{3}{4}$（x-10）²+75（0＜x＜20），且二次项系数为-$\frac{3}{4}$＜0，
∴当x=10时，y有最大值，最大值为75平方米．

点评 此题考查了二次函数的应用，以及列代数式，熟练掌握二次函数的性质是解本题的关键．