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【题目】如图,已知等边ABC,AB=12,以AB为直径的半圆与BC边交于点D,过点D作DFAC,垂足为F,过点F作FGAB,垂足为G,连结GD.

(1)求证:DF是O的切线;

(2)求FG的长;(3)求tanFGD的值.

【答案】(1)证明过程见解析;(2);(3)

【解析】

试题分析:(1)连接OD,根据等边三角形得出A=B=C=60°,根据OD=OB得到ODB=60°,得到ODAC,根据垂直得出切线;(2)根据中位线得出BD=CD=6,根据RtCDF的三角函数得出CF的长度,从而得到AF的长度,最后根据RtAFG的三角函数求出FG的长度;(3)过点D作DHAB,根据垂直得出FGDH,根据RtBDH求出BH、DH的长度,然后得出GDH的正切值,从而得到FGD的正切值.

试题解析:(1)如图,连结OD, ∵△ABC为等边三角形, ∴∠C=A=B=60°

而OD=OB, ∴△ODB是等边三角形,ODB=60° ∴∠ODB=C,

ODAC, DFAC,ODDF,DF是O的切线

(2)ODAC,点O为AB的中点,OD为ABC的中位线,

BD=CD=6.在RtCDF中,C=60°∴∠CDF=30°

CF=CD=3,AF=AC-CF=12-3=9 在RtAFG中,∵∠A=60°FG=AF·sinA=9×

(3)如图,过D作DHAB于H.FGAB,DHAB,FGDH,∴∠FGD=GDH.在RtBDH中,B=60°∴∠BDH=30°BH=BD=3,DH=BH=3.tanGDH=

tanFGD=tanGDH=

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