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【题目】如图,已知二次函数图象的顶点坐标为C(1,0),直线与该二次函数的图象交于A、B两点,其中A点的坐标为(3,4),B点在轴上.

(1)求的值及这个二次函数的关系式;

(2)P为线段AB上的一个动点(点P与A、B不重合),过P作轴的垂线与这个二次函数的图象交于点E点,设线段PE的长为,点P的横坐标为,求之间的函数关系式,并写出自变量的取值范围;

(3)D为直线AB与这个二次函数图象对称轴的交点,在线段AB上是否存在一点P,使得四边形DCEP是平行四边形?若存在,请求出此时P点的坐标;若不存在,请说明理由.

【答案】(1)m=1,y=-2x+1;(2)h=-+3x(0<x<3);(3)P(2,3)

【解析】

试题分析:(1)将点A代入直线解析式求出m的值,将二次函数设出顶点式,然后求出函数解析式;(2)、分别得出点P和点E的纵坐标,然后将两点的纵坐标做差得出h与x的函数关系式;(3)、根据平行四边形性质可得:PE=DC,根据点D在直线y=x+1上得出点D的坐标,从而得出方程求出x的值,得出点P的坐标.

试题解析:(1) 点A(3,4)在直线y=x+m上, 4=3+m. m=1.

设所求二次函数的关系式为y=a(x-1)2. 点A(3,4)在二次函数y=a(x-1)2的图象上,

4=a(3-1)2, a=1. 所求二次函数的关系式为y=(x-1)2. 即y=x2-2x+1.

(2)设P、E两点的纵坐标分别为yP和yE PE=h=yP-yE=(x+1)-(x2-2x+1)=-x2+3x.

即h=-x2+3x (0<x<3).

(3)存在.要使四边形DCEP是平行四边形,必需有PE=DC. 点D在直线y=x+1上,

点D的坐标为(1,2), -x2+3x=2 .即x2-3x+2=0 . 解得:x1=2,x2=1 (不合题意,舍去)

当P点的坐标为(2,3)时,四边形DCEP是平行四边形.

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