Question

2．如图，在矩形ABCD中，AB=9，AD=12．动点E从点B出发，沿线段BC（不包括端点B、C）以每秒2个单位长度的速度，匀速向点C运动；动点F从点C出发，沿线段CD（不包括端点C、D）以每秒1个单位长度的速度，匀速向点D运动；点E、F同时出发，同时停止．连接AF并延长交BC的延长线于点M，再把AM沿AD翻折交CD延长线于点N，连接MN．设运动时间为t秒．
（1）当t为何值时，△ABE∽△ECF；
（2）在点E运动的过程中是否存在某个时刻使AE⊥AN？若存在请求出t的值，若不存在请说明理由；
（3）在运动的过程中，△AMN的面积是否变化？如果改变，求出变化的范围；如果不变，求出它的值．

Answer 1

分析 （1）根据相似三角形的对应边成比例，列出关于t的式子，求出t；
（2）证明△ABE∽△ADN，得到成比例线段，用t表示BE、CF、DN，代入比例式求出t的值；
（3）根据△AMN的面积=△ANF的面积+△MNF的面积，求出△AMN的面积，可知是否是定值．

解答 解：（1）若△ABE∽△ECF，
则$\frac{BE}{AB}$=$\frac{CF}{EC}$，
∴$\frac{2t}{9}$=$\frac{t}{12-2t}$，
解得t₁=0（舍去），t₂=$\frac{15}{4}$，
∴当t=$\frac{15}{4}$时，△ABE∽△ECF；
（2）存在，
在矩形ABCD中，∠B=∠BAD=∠ADC=∠ADN=90°，
又∵AE⊥AN
∴∠NAE=90°，
∴∠BAE=∠DAN，
∴△ABE∽△ADN，
∴$\frac{BE}{AB}$=$\frac{DN}{AD}$，
∵AB=9，BE=2t，AD=12，CF=t，
∴DF=9-t，
由折叠知：DN=DF=9-t，
∴$\frac{2t}{9}$=$\frac{9-t}{12}$，
∴t=$\frac{27}{11}$，
∴当t=$\frac{27}{11}$时，AE⊥AN，
（3）△AMN的面积不变，
在矩形ABCD中，FC∥AB，
∴△FCM∽△ABM
∴$\frac{FC}{AB}$=$\frac{MC}{BM}$，
∴$\frac{t}{9}$=$\frac{MC}{12+MC}$，
∴MC=$\frac{12t}{9-t}$，
∴S_△AMN=S_△ANF+S_△NFM
=$\frac{1}{2}$NF×AD+$\frac{1}{2}$NF×MC
=$\frac{1}{2}$NF（AD+MC）
=$\frac{1}{2}$×2（9-t）×（12+$\frac{12t}{9-t}$）
=108．
∴△AMN的面积不变为108．

点评 本题考查的是相似三角形的综合应用，灵活运用相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键，解答时，注意方程思想的正确运用．