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【题目】如图,在梯形中,,,,,为边上一动点,作,垂足在边上,以点为圆心,为半径画圆,交射线于点.

1)当圆过点时,求圆的半径;

2)分别联结,当时,以点为圆心,为半径的圆与圆相交,试求圆的半径的取值范围;

3)将劣弧沿直线翻折交于点,试通过计算说明线段的比值为定值,并求出次定值.

【答案】1x=3 2 3

【解析】

(1)AMBC、连接AP,由等腰梯形性质知BM=4AM=3,据此知tanB=tanC= ,从而可设PH=3k,则CH=4kPC=5k,再表示出PA的长,根据PA=PH建立关于k的方程,解之可得;

(2)PH=PE=3kCH=4kPC=5kBC=9BE=98k,由ABE∽△CEH ,据此求得k的值,从而得出圆P的半径,再根据两圆间的位置关系求解可得;

(3)在圆P上取点F关于EH的对称点G,连接EG,作PQEGHNBC,先证EPQ≌△PHNEQ=PN,由PH=3kHC=4kPC=5ksinC= cosC= ,据此得出NC= kHN=kPN=PCNC=k,继而表示出EFEH的长,从而出答案.

(1)AMBC于点M,连接AP,如图1

∵梯形ABCD中,AD//BC,且AB=DC=5AD=1BC=9

BM=4AM=3

tanB=tanC=

PHDC

∴设PH=3k,则CH=4kPC=5k

BC=9

PM=BCBMPC=55k

AP=AM+PM=9+(55k)

PA=PH

9+(55k) =9k

解得:k=1k=

k= 时,CP=5k= >9,舍去;

k=1

则圆P的半径为3

(2)如图2

(1)知,PH=PE=3kCH=4kPC=5k

BC=9

BE=BCPEPC=98k

∵△ABE∽△CEH

,即

解得:k=

PH= ,即圆P的半径为

∵圆B与圆P相交,且BE=98k=

<r<

(3)在圆P上取点F关于EH的对称点G,连接EG,作PQEGGHNBCN

EG=EF、∠1=3EQ=QGEF=EG=2EQ

∴∠GEP=21

PE=PH

∴∠1=2

∴∠4=1+2=21

∴∠GEP=4

∴△EPQ≌△PHN

EQ=PN

(1)PH=3kHC=4kPC=5k

sinC= cosC=

NC= kHN= k

PN=PCNC= k

EF=EG=2EQ=2PN= kEH=

故线段EHEF的比值为定值.

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