【题目】如图,在梯形中,,,,,点为边上一动点,作⊥,垂足在边上,以点为圆心,为半径画圆,交射线于点.
(1)当圆过点时,求圆的半径;
(2)分别联结和,当时,以点为圆心,为半径的圆与圆相交,试求圆的半径的取值范围;
(3)将劣弧沿直线翻折交于点,试通过计算说明线段和的比值为定值,并求出次定值.
【答案】(1)x=3 (2) (3)
【解析】
(1)作AM⊥BC、连接AP,由等腰梯形性质知BM=4、AM=3,据此知tanB=tanC= ,从而可设PH=3k,则CH=4k、PC=5k,再表示出PA的长,根据PA=PH建立关于k的方程,解之可得;
(2)由PH=PE=3k、CH=4k、PC=5k及BC=9知BE=98k,由△ABE∽△CEH得 ,据此求得k的值,从而得出圆P的半径,再根据两圆间的位置关系求解可得;
(3)在圆P上取点F关于EH的对称点G,连接EG,作PQ⊥EG、HN⊥BC,先证△EPQ≌△PHN得EQ=PN,由PH=3k、HC=4k、PC=5k知sinC= 、cosC= ,据此得出NC= k、HN=k及PN=PCNC=k,继而表示出EF、EH的长,从而出答案.
(1)作AM⊥BC于点M,连接AP,如图1,
∵梯形ABCD中,AD//BC,且AB=DC=5、AD=1、BC=9,
∴BM=4、AM=3,
∴tanB=tanC=,
∵PH⊥DC,
∴设PH=3k,则CH=4k、PC=5k,
∵BC=9,
∴PM=BCBMPC=55k,
∴AP=AM+PM=9+(55k) ,
∵PA=PH,
∴9+(55k) =9k,
解得:k=1或k=,
当k= 时,CP=5k= >9,舍去;
∴k=1,
则圆P的半径为3.
(2)如图2,
由(1)知,PH=PE=3k、CH=4k、PC=5k,
∵BC=9,
∴BE=BCPEPC=98k,
∵△ABE∽△CEH,
∴ ,即 ,
解得:k= ,
则PH= ,即圆P的半径为,
∵圆B与圆P相交,且BE=98k= ,
∴<r<;
(3)在圆P上取点F关于EH的对称点G,连接EG,作PQ⊥EG于G,HN⊥BC于N,
则EG=EF、∠1=∠3、EQ=QG、EF=EG=2EQ,
∴∠GEP=2∠1,
∵PE=PH,
∴∠1=∠2,
∴∠4=∠1+∠2=2∠1,
∴∠GEP=∠4,
∴△EPQ≌△PHN,
∴EQ=PN,
由(1)知PH=3k、HC=4k、PC=5k,
∴sinC= 、cosC= ,
∴NC= k、HN= k,
∴PN=PCNC= k,
∴EF=EG=2EQ=2PN= k,EH= ,
∴,
故线段EH和EF的比值为定值.
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【题目】小明和小亮分别从甲地和乙地同时出发,沿同一条路相向而行,小明开始跑步,中途改为步行,到达乙地恰好用小亮骑自行车以的速度直接到甲地,两人离甲地的路程与各自离开出发地的时间之间的函数图象如图所示,
甲、乙两地之间的路程为______m,小明步行的速度为______;
求小亮离甲地的路程y关于x的函数表达式,并写出自变量x的取值范围;
求两人相遇的时间.
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【题目】某文具店销售一种进价为每本10元的笔记本,为获得高利润,以不低于进价进行销售,结果发现,每月销售量y与销售单价x之间的关系可以近似地看作一次函数:y=﹣5x+150,物价部门规定这种笔记本每本的销售单价不得高于18元.
(1)当每月销售量为70本时,获得的利润为多少元;
(2)该文具店这种笔记本每月获得利润为W元,求每月获得的利润W元与销售单价x之间的函数关系式,并写出自变量的取值范围;
(3)当销售单价定为多少元时,每月可获得最大利润,最大利润为多少元?
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【题目】如图,半径为1的圆O1与半径为3的圆O2相内切,如果半径为2的圆与圆O1和圆O2都相切,那么这样的圆的个数是 ( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
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【题目】某汽车销售公司5月份销售某种型号汽车,当月该型号汽车的进价为20万元/辆,若当月销售量超过5辆时,每多售出1辆,所有售出的汽车进价均降低0.1万元/辆.根据市场调查,月销售量不会突破40辆.
(1)设当月该型号汽车的销售量为辆(,且为正整数),实际进价为万元/辆,求与的函数关系式;
(2)已知该型号汽车的销售价为22万元/辆,公司计划当月销售利润45万元,那么该月需售出多少辆汽车?
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【题目】列方程解应用题:为缓解交通拥堵问题,小李将上班方式由自驾车改为骑电动车.他从家到达上班地点,自驾车要走的路程为10千米,骑电动车要走的路程为8千米,已知小李自驾车的速度是骑电动车速度的1.5倍,他由自驾车改为骑电动车后,时间多用了6分钟.求小李自驾车和骑电动车的速度分别是多少?
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【题目】如图,在矩形ABCD中,E是BC边上的点,AE=BC,DF⊥AE,垂足为F,连接DE.
(1)求证:AB=DF;
(2)若AD=10,AB=6,求tan∠EDF的值.
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【题目】如图,M,N是正方形ABCD的边BC上两个动点,满足BM=CN,连结AC交DN于点P,连结AM交BP于点Q,若正方形的边长为1,则线段CQ的最小值是_____.
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