Question

【题目】已知：△ABC是⊙O的内接正三角形，P为弧BC上一点（与点B、C不重合），

（1）如果点P是弧BC的中点，求证：PB+PC=PA；

（2）如果点P在弧BC上移动时，（1）的结论还成立吗？请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）结论成立，理由详见解析.

【解析】

（1）连OB，OC，由点P是弧BC的中点，△ABC是⊙O的内接正三角形，根据垂径定理的推论得到AP为⊙O的直径，易得△OBP和△OPC都是等边三角形，于是得到结论；

（2）截取PE=PC，则△PEC为等边三角形，得到CE=CP，∠PCE=60°，易证△CAE≌△CBP，得到AE=PB，即有PB+PC=PA．

（1）连OB，OC，如图

∵点P是弧BC的中点，△ABC是⊙O的内接正三角形，

∴AP为⊙O的直径，

∴∠BPO=∠ACB，∠APC=∠ABC，

∵△ABC是⊙O的内接正三角形，

∴∠ACB=∠ABC=60°，

∴∠BPO=∠APC=60°，

∴△OBP和△OPC都是等边三角形，

∴PB=PC=OP=OA，

∴PB+PC=PA；

（2）（1）的结论还成立．理由如下：

截取PE=PC，

∵∠APC=60°，

∴△PEC为等边三角形，

∴CE=CP，∠PCE=60°，

而∠ACB=60°，

∴∠ACE=∠BCP，

而CA=CB，

∴△CAE≌△CBP，

∴AE=PB，

∴PB+PC=PA．