Question

【题目】如图，点E，F分别在正方形ABCD的边CD，BC上，且，点P在射线BC上（点P不与点F重合）．将线段EP绕点E顺时针旋转得到线段EG，过点E作GD的垂线QH，垂足为点H，交射线BC于点Q．

（1）如图1，若点E是CD的中点，点P在线段BF上，线段BP，QC，EC的数量关系为________．

（2）如图2，若点E不是CD的中点，点P在线段BF上，判断（1）中的结论是否仍然成立．若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由．

（3）正方形ABCD的边长为6，，，请直接写出线段BP的长．

Answer 1

【答案】（1）；（2）成立，见解析；（3）线段BP的长为3或5．

【解析】

（1）由ASA证明，得出，即可得出结论；

（2）由ASA证明，得出，即可得出结论；

（3）①当点P在线段BF上时，点Q在线段BC上，由（2）可知：，求出，，即可得出答案；

②当点P在射线FC上时，点Q在线段BC的延长线上，同理可得：；即可得出答案．

（1）；理由如下：

∵四边形ABCD是正方形，

∴，，

由旋转的性质得：，，

∴，

∵，

∴，，

∴，

又∵，，

∴，

在和中，，

∴，

∴，

∴，

即；

故答案为：；

（2）（1）中的结论仍然成立，理由如下：

由题意得：，，

∴，

∵，

∴，，

∴，

∵四边形ABCD是正方形，

∴，，

∴，

∵，

∴，

在和中，，

∴，

∴，

∴，

即；

（3）分两种情况：

①当点P在线段BF上时，点Q在线段BC上，

由（2）可知：，

∵，

∴，，

∴；

②当点P在射线FC上时，点Q在线段BC的延长线上，如图3所示：

同（2）可得：，

∴，

∵，，

∴，

∴；

综上所述，线段BP的长为3或5．