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【题目】如图1,扇形OAB的半径为4,∠AOB90°P是半径OB上一动点,Q上一动点.

1)连接AQBQPQ,则∠AQB的度数为   

2)当POB中点,且PQOA时,求的长;

3)如图2,将扇形OAB沿PQ对折,使折叠后的恰好与半径OA相切于点C.若OP3,求点O到折痕PQ的距离.

【答案】1;(2;(3

【解析】

1)如图,补全图形,运用圆内接四边形的性质求解即可;

2)要想求弧长,就得求所对的圆心角的度数,所以要连接OQ,构成圆心角,利用直角三角形直角边是斜边的一半,则这条直角边所对的锐角为30°求出∠1=30°,再利用平行线截得内错角相等得出∠2的度数,代入弧长公式计算即可.

3)先找点O关于PQ的对称点O′,连接OO′O′BO′CO′P,证明四边形OCO′B是矩形,由勾股定理求O′B,从而求出OO′的长,则OM=OO′=

1)补全图形如图所示,

∵∠AOB90°

∴∠BCA=45°

∵四边形ACBQ是圆内接四边形,

∴∠AQB+C=180°

∴∠AQB=180°-C=135°

故答案为:135°

2)如图1,连接OQ

∵扇形OAB的半径为4POB中点,

OP2OQ4

PQOA

∴∠BPQ=∠AOB90°

∴∠OQP30°

∴∠AOQ=∠OQP30°

的长=π

3)如图2,找点O关于PQ的对称点O′,连接OO′O′BO′CO′PON

OMO′MOO′PQO′POP3,点O′所在圆的圆心,

O′COB4

∵折叠后的弧QB′恰好与半径OA相切于C点,

O′CAO

O′COB

∴∠POO'=∠CO'M=∠PO'M

∵∠PMO'=∠QMO'90°

∴∠O'PM=∠MNO'

O'PO'NOP3

∴四边形OPO'N是平行四边形,

O'PON

OO'关于PQ对称,

ONO'N3

BPCN431

PNOO'

∴∠MNO'=∠MNO

∴∠BPO'=∠CNO

∴△O'BP≌△OCNSAS),

∴∠O'BP=∠OCN90°

∴四边形OCO′B是矩形,

RtO′BP中,O′B2

RtOBO′中,OO′2

OMOO′×2

O到折痕PQ的距离为

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