Question

【题目】如图，在△OAB中，OA＝OB，C为AB中点，以O为圆心，OC长为半径作圆，AO与⊙O交于点E，直线OB与⊙O交于点F和D，连接EF．CF，CF与OA交于点G．

（1）求证：直线AB是的切线；

（2）求证：ODEG＝OGEF；

（3）若AB＝4BD，求sinA的值．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）sinA＝．

【解析】

（1）利用等腰三角形的性质，证明OC⊥AB即可；

（2）证明OC∥EG，推出△GOC∽△GEF即可解决问题；

（3）根据勾股定理和三角函数解答即可．

（1）证明：∵OA＝OB，AC＝BC，

∴△ABO是等腰三角形，

∴OC⊥AB，

∴AB是的切线．

（2）证明：∵OA＝OB，AC＝BC，

∴∠AOC＝∠BOC，

∵OE＝OF，

∴∠OFE＝∠OEF，

∵∠AOB＝∠AOC+∠BOC＝∠OFE+∠OEF，

∴∠AOC＝∠OEF，

∴OC∥EF，

∴△GOC∽△GEF，

∴，

∴OCEG＝OGEF．

∵OD＝OC，

∴ODEG＝OGEF．

（3）解：∵AB＝4BD，

∴BC＝2BD，设BD＝m，BC＝2m，OC＝OD＝r，

在Rt△BOC中，∵OB2＝OC2+BC2，

即

则OB＝OD+BD＝＝2.5m，

∴sinA＝sinB＝．