Question

【题目】如图，在△ABC中，CE平分∠ACB交AB于E点，DE∥BC，DF∥AB．

（1）若∠BCE＝25°，请求出∠ADE的度数；

（2）已知：BF＝2BE，DF交CE于P点，连结BP，AB⊥BP．

①猜想：△CDF的边DF与CD的数量关系，并说明理由；

②取DE的中点N，连结NP．求证：∠ENP＝3∠DPN．

Answer 1

【答案】（1）∠ADE＝50°；（2）①CD＝2DF；见解析；②见解析．

【解析】

（1）利用角平分线得出∠ACB=2∠BCE=50°，再利用两直线平行，同位角相等即可得出结论；

（2）先判断出四边形BEDF是平行四边形，进而得出DE=2DF，再利用角平分线及平行线得出DE=CD，即可得出结论；

（3）先利用倍长中线法得出NG=NP，∠EGN=∠DPN，再用直角三角形的中线得出∠EGN=∠EBN，再构造出菱形判断出∠BEN=∠BHN，即可得出结。

（1）∵CE平分∠ACB交AB于E点，

∴∠ACB＝2∠BCE，

∵∠BCE＝25°，

∴∠ACB＝50°，

∵DE∥BC，

∴∠ADE＝∠ACB＝50°；

（2）①∵DE∥BC，DF∥AB，

∴四边形BEDF是平行四边形，

∴DE＝BF，DF＝BE，

∵BF＝2BE，

∴DE＝2DF，

∵CE平分∠ACB交AB于E点，

∴∠BCE＝∠ACE，

∵DE∥BC，

∴∠DEC＝∠BCE，

∴∠DEC＝∠DCE，

∴CD＝DE，

∵DE＝2DF，

∴CD＝2DF；

（3）如图，

延长PN交AB于G，

∵DF∥AB，

∴∠EGN＝∠DPN，

∵∠ENG＝∠DNP，

∵点N是DE中点，

∴EN＝DN，

∴△ENG≌△DNP（AAS），

∴∠EGN＝∠DPN，GN＝PN，

∵AB⊥BP，

∴∠ABP＝90°，

∴BN＝GN，

∴∠EGN＝∠EBN，

∵DE＝2EN，DE＝2BE，

∴EN＝BE，

∴∠ENB＝∠EBN＝∠EGN＝∠DPN，

过点N作NH∥BE交BC于H，

∵BE∥DF，

∴NH∥DF，

∴∠PNH＝∠DPN，

∵EN∥BH，NH∥BE，

∴四边形BENH是平行四边形，

∵BE＝EN，

∴BENH是菱形，

∵BE是菱形对角线，

∴∠BNH＝∠BNE＝DPN，

∴∠ENP＝∠BNE+∠BNH+∠PNH＝∠DPN+∠DPN+∠DPN＝3∠DPN．