Question

【题目】如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC．在平面内任取一点D，连结AD（AD＜AB），将线段AD绕点A逆时针旋转90°，得到线段AE，连结DE，CE，BD．

（1）直线BD和CE的位置关系是　 　；

（2）猜测BD和CE的数量关系并证明；

（3）设直线BD，CE交于点P，把△ADE绕点A旋转，当∠EAC＝90°，AB＝2，AD＝1时，直接写出PB的长．

Answer 1

【答案】（1）BD⊥CE；（2）BD＝CE，证明见解析；（3）或．

【解析】

（1）依据等腰三角形的性质得到AB＝AC，AD＝AE，依据同角的余角相等得到∠DAB＝∠CAE，然后依据SAS可证明△ADB≌△AEC，最后，依据全等三角形的性质可得到结论；

（2）根据全等三角形的性质即可得到结论；

（3）分为点E在AB上和点E在BA的延长线上两种情况画出图形，然后再证明△BPE∽△BAD，最后依据相似三角形的性质进行证明即可．

解：（1）BD⊥CE，

理由：延长CE交BD于P，

∵将线段AD绕点A逆时针旋转90°，得到线段AE，

∴AD＝AE，∠DAE＝90°，

∵∠BAC＝90°，AB＝AC，

∵∠DAB+∠BAE＝∠CAE+∠BAE＝90°，

∴∠DAB＝∠EAC，

∴△DAB≌△EAC（SAS），

∴∠ABD＝∠ACE，

∵∠ABC+∠ACB＝∠ABP+∠ABC+∠PCB＝90°，

∴∠BPC＝90°，

∴BD⊥CE，

故答案为：BD⊥CE；

（2）BD和CE的数量是：BD＝CE；

由（1）知△ABD≌△ACE，

∴BD＝CE；

（3）①当点E在AB上时，BE＝AB﹣AE＝1．

∵∠EAC＝90°，

∴CE＝＝，

同（1）可证△ADB≌△AEC．

∵∠AEC＝∠BEP，

∴∠BPE＝∠EAC＝90°，

∵∠PBE＝∠ABD，

∴△BPE∽△BAD，

∴＝，

∴＝，

∴BP＝．

②当点E在BA延长线上时，BE＝3，

∵∠EAC＝90°，

∴CE＝＝，

由△BPE∽△BAD，

∴＝，

∴＝，

∴PB＝，

综上所述，PB的长为或．