Question

13．如图，在等边△ABC中，AC=4，点D、E、F分别在三边AB、BC、AC上，且AF=1，FD⊥DE，∠DFE=60°，则AD的长为1.5．

Answer 1

分析 根据三角形的内角和定理列式求出∠2=∠3，再根据等边三角形的三个角都是60°求出∠A=∠C，然后根据两组角对应相等的两个三角形相似求出△ADF和△CFE相似，根据相似三角形对应边成比例可得AD：CF=DF：EF，再根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半可求出EF的长，然后代入数据进行计算即可得解．

解答 解：∵∠DFE=60°，
∴∠1+∠2+60°=180°，
∴∠2=120°-∠1，
在等边△ABC中，∠A=∠C=60°，
∴∠A+∠1+∠3=180°，
∴∠3=180°-∠A-∠1=120°-∠1，
∴∠2=∠3，
又∵∠A=∠C，
∴△ADF∽△CFE，
∴AD：CF=DF：EF，
∵FD⊥DE，∠DFE=60°，
∴∠DEF=90°-60°=30°，
∴DF=$\frac{1}{2}$EF，
又∵AF=1，AC=4，
∴CF=4-1=3，
∴$\frac{AD}{3}$=$\frac{1}{2}$，
解得AD=1.5．
故答案为：1.5．

点评 本题考查了相似三角形的判定与性质，等边三角形的性质，直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半，根据平角等于180°和三角形的内角和定理求出∠2=∠3是解题的关键，也是本题的难点．