Question

6．已知抛物线y=x²-2（t+1）x-（2t+3）（t为常数，且t＞-1）．
（1）求证：此抛物线与x轴总有两个交点．
（2）设抛物线与x轴的两个交点分别是A、B点．
①A、B两点之间的距离为AB=2t+4（用含t的式子表示）；
②若A、B两点到原点的距离分别为OA、OB，且（OA-1）（OB+1）=4，求t的值．

Answer 1

分析 （1）先计算判别式的值，再利用配方法得到△=4（t+2）²，利用非负数的性质可判断△＞0，然后利用△=b²-4ac决定抛物线与x轴的交点个数判断此抛物线与x轴总有两个交点；
（2）利用求根公式法解方程x²-2（t+1）x-（2t+3）=0得到x₁=2t+3，x₂=-1，
①根据抛物线与x轴的交点问题可得到B（-1，0），A（2t+3，0），于是根据数轴上两点间的距离公式可得到AB=2t+4；
②由A、B的坐标得OB=1，OA=2t+3，根据题意得（2t+3-1）（1+1）=4，然后解方程即可．

解答 （1）证明：△=4（t+1）²+4（2t+3）
=4t²+16t+16
=4（t+2）²，
∵t＞-1，
∴4（t+2）²＞0，即△＞0，
∴此抛物线与x轴总有两个交点；
（2）解：x²-2（t+1）x-（2t+3）=0，
△=4（t+2）²，
x=$\frac{2（t+1）±2（t+2）}{2}$，
所以x₁=2t+3，x₂=-1，
①B（-1，0），A（2t+3，0），
∵t＞-1，
∴A、B两点之间的距离为AB=2t+3+1=2t+4；
②∵B（-1，0），A（2t+3，0），
∴OB=1，OA=2t+3，
∴（2t+3-1）（1+1）=4，解得t=0，
即t的值为0．
故答案为2t+4．

点评 本题考查了抛物线与x轴的交点问题：把求二次函数y=ax²+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程；△=b²-4ac决定抛物线与x轴的交点个数：△=b²-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b²-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b²-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．解决本题的关键是利用公式法解一元二次方程．