Question

【题目】如图，在正方形ABCD中，连接AC，点E为正方形ABCD内一点，∠BAE=∠BCE=15°，点F为AE延长线上一点，且BF=BC，连接CF，下列结论：①EF平分∠BEC；②△BCF是等边三角形；③∠AFC=45°；④EF=AE+BE.正确的是（ ）

A.①②B.②③C.①②③D.①②③④

Answer 1

【答案】D

【解析】

利用正方形的性质，易证△ABE≌△CBE，得到∠ABE=∠CBE=45°，由三角形外角性质易得∠BEF=∠CEF=60°，所以①正确；利用BF=BC=BA，易推出∠CBF=60°，则可判定△BCF为等边三角形，所以②正确；由②的结论易得∠AFC=60°-15°=45°，所以③正确；在EF上截取FN=AE，易证△BAE≌△BFN，推出EN=BE，即可判断④.

解：∵四边形ABCD是正方形，

∴AB=BC，∠ABC=90°，

∴∠BAC=∠BCA=45°，

∵∠BAE=∠BCE=15°

∴∠EAC=∠ECA=30°，

∴EA=EC，

在△ABE和△CBE中，

∴△ABE≌△CBE（SSS）

∴∠ABE=∠CBE=∠ABC=45°，

∴∠BEF=∠BAE+∠ABE=60°，

∵∠CEF=∠EAC+∠ECA=60°，

∴∠BEF=∠CEF

∴EF平分∠BEC，故①正确；

∵BF=BC=BA

∴∠BFA=∠BAF=15°，

∴∠ABF=150°，

∴∠CBF=∠ABF-∠ABC=60°，

又∵BF=BC

∴△BCF为等边三角形，故②正确；

∵△BCF为等边三角形

∴∠BFC=60°，

∴∠AFC=∠BFC-∠BFA=60°-15°=45°，故③正确；

如图所示，在EF上截取FN=AE，

在△BAE和△BFN中，

∴△BAE≌△BFN（SAS）

∴BE=BN

又∵∠BEF=60°，

∴△BEN为等边三角形，

∴EN=BE

∴EF=FN+EN=AE+BE，故④正确；

①②③④正确，故选D.