Question

【题目】如图，△ABC内接于⊙O．AB为⊙O的直径，BC=3，AB=5，D、E分别是边AB、BC上的两个动点（不与端点A、B、C重合），将△BDE沿DE折叠，点B的对应点B′恰好落在线段AC上（包含端点A、C），若△ADB′为等腰三角形，则AD的长为___．

Answer 1

【答案】或或．

【解析】

根据圆周角定理得到∠C=90°，根据勾股定理得到AC=4，根据折叠的性质得到BD=B′D，BE=B′E，①当AB′=DB′时，设AB′=DB′=BD=x，根据相似三角形的性质得到AD=5-x=；；②当AD=DB′时，则AD=DB′=BD=AB=；③当AD=AB′时，如图2，过D作DH⊥AC于H，根据平行线分线段成比例定理即可得到结论．

∵AB为⊙O的直径，

∴∠C=90°，

∵BC=3，AB=5，

∴AC=4，

∵将△BDE沿DE折叠，点B的对应点B′恰好落在线段AC上，

∴BD=B′D，BE=B′E，

若△ADB′为等腰三角形，

①当AB′=DB′时，设AB′=DB′=BD=x，

则AD=5-x，

如图1，过B′作B′F⊥AD于F，

则AF=DF=AD，

∵∠A=∠A，∠AFB′=∠C=90°，

∴△AFB′∽△ACB，

∴=，

∴=，

解得：x=，

∴AD=5-x=；

②当AD=DB′时，则AD=DB′=BD=AB=；

③当AD=AB′时，如图2，过D作DH⊥AC于H，

∴DH∥BC，

∴==，

设AD=5m，

∴DH=3m，AH=4m，

∴DB′=BD=5-5m，HB′=5m-4m=m，

∵=+，

∴=+，

∴m=，m=（不合题意舍去），

∴AD=，

故答案为：或或．