Question

在△ABC中，AB=AC，点O是线段AC与BC垂直平分线的交点，P、Q两点分别在直线AC和AB上，AP=BQ．
（1）如图①，当∠BAC=60°，点P、Q分别在线段AC、AB上时，求证：∠APO+∠AQO=180°；
（2）如图②，当∠BAC=120°，点P、Q分别在CA、AB的延长线上时，则∠APO与∠AQO的数量关系是

 

；
（3）如图③，在（2）的条件下，连接PQ、AO，若PQ⊥CP于点P，AO交BC于D，PO交BC于E，CD=6，求BE的长．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,线段垂直平分线的性质,含30度角的直角三角形

专题：

分析：（1）连接AO、BO、CO，易证△ABC是等边三角形，即可证明△APO≌△BQO，可得∠APO=∠BQO，即可解题；
（2）连接AO、BO、CO，易证△OAB，△OAC是等边三角形，即可证明△PAO≌△QBO，可得∠APO=∠AQO，即可解题；
（3）连接OB、OC，同理（1）问可知，AD⊥BC，且∠BAD=∠CAD=60°，BD=CD，易证PA=

1

2

AQ，BQ=

1

2

AQ，即可证明BE=OE，可得BE=

2

3

BD=

2

3

CD，即可解题．

解答：解：（1）连接AO、BO、CO，

∵点O是线段AC与BC垂直平分线的交点，
∴OA=OB=OC，
又∵AB=AC，∠BAC=60°，
∴△ABC是等边三角形，AB=BC=AC，
∴直线AO和直线BO分别是边BC和AC的垂直平分线，
∴∠OAP=∠OBQ=

1

2

∠BAC=

1

2

∠ABC=30°，
∵在△APO和△BQO中，

AO=BO ∠PAO=∠QBO AP=BQ

，
∴△APO≌△BQO，（SAS）
∴∠APO=∠BQO，
∵∠BQO+∠AQO=180°，
∴∠APO+∠AQO=180°；
（2）连接AO、BO、CO，

∵点O是线段AC与BC垂直平分线的交点，
∴OA=OB=OC，
∵∠BAC=120°，AB=AC，
∴∠BAO=∠CAO=60°，
∴△OAB，△OAC是等边三角形，
∴∠QBO=120°，∠PAO=∠PAQ+∠BAO=120°，
∵在△PAO和△QBO中，

AP=BQ ∠PAO=∠QBO AO=BO

，
∴△PAO≌△QBO，（SAS）
∴∠APO=∠AQO；
（3）连接OB、OC，

同理（1）问可知，AD⊥BC，且∠BAD=∠CAD=60°，BD=CD，
∵OA=OB，
∴AB=AO=BO，且∠OBD=

1

2

∠OBA=30°，
∵∠BAC=120°，
∴∠PAQ=60°，∠PAO=120°，△APQ中，∠APQ=90°，∠AQP=30°，PA=

1

2

AQ，
∵AP=BQ，
∴BQ=

1

2

AQ，
∴AP=AB=AO，
∴∠AOP=30°，
∴∠BOE=30°，
∴BE=OE，
∴RT△ODE中，DE=

1

2

OE=

1

2

BE，
∴BE=

2

3

BD=

2

3

CD=4．

点评：本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边、对应角相等的性质，本题中求证△APO≌△BQO是解题的关键．